证明抽象函数的性质

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陈题，但不失典型，不失经典

已知函数\(f\left( x \right)\)的定义域为\(\left\{ x|x\ne k\pi\text{ ,}k\in \mathbf{Z} \right\}\)，且对于定义域内的任何`x`，`y`，有\(f(x-y)=\frac{f(x)f(y)+1}{f(y)-f(x)}\)成立，且\(f\left( a \right)=1\) (`a`为正常数)．

（1）判断`f(x)`的奇偶性；
（2）证明`f(x)`为周期函数；
（3）若当\(0<x<2a\)时，\(f\left( x \right)>0\)，求\(f\left( x \right)\)在\(\left[ 2a,3a \right]\)上的最小值和最大值．

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关键提示：
\begin{align*}
f(x-a)&=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}=\frac{f(x+a-a)+1}{1-f(x+a-a)}\\[1ex]
&=\frac{\frac{f(x+a)+1}{1-f(x+a)}+1}{1-\frac{f(x+a)+1}{1-f(x+a)}}\\[1ex]
&=-\frac 1{f(x+a)}
\end{align*}

由以上的第一行前两式，知`f(x-a)+f(a-x)=0`，这便是奇函数；

由`f(x-2a)=-\frac 1{f(x)}`知周期为`4a`.

令`0<x<y<2a`则由（3）中所给的条件及上式易得`f(x)>0,f(y)>0`，从而
\begin{align*}
f(x)-f(y)&=\frac{f(x)f(y)+1}{f(y-x)}>0\\
\iff f(x) &\downarrow
\end{align*}