正弦和大于4

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若锐角`\angle 1`，`\angle 2`，`\cdots`，`\angle n`为`n`边形的`n`个外角，求证：`\sin \angle 1 + \sin \angle 2 + \cdots+\sin \angle n > 4 `.

kuing

改为：`x_i\in[0,90\du]`, `x_1+x_2+\cdots+x_n=360\du`，证 `\sin x_1+\sin x_2+\cdots+\sin x_n\geqslant4`。

凸函数性质：若 `f(x)` 在 `[a,b]` 上严格上凸，该区间内有四数满足 `x_1<x\leqslant y<y_1` 且 `x_1+y_1=x+y`，则 `f(x)+f(y)>f(x_1)+f(y_1)`。

推论：在上述前提下，变量 `x_i\in[a,b]` 满足 `\sum x_i` 为定值，则 `\sum f(x_i)` 取最小值时至多有一个变量不在区间端点。

回到开头，由于 `90\mid360`，当 `n-1` 个 `x_i` 都取 `[0,90\du]` 的端点时，剩下那个也只能是端点，也就是 `\sum\sin x_i` 取最小值时全部都取端点，于是只能是 `4` 个 `90\du` 其余全是 `0`，因此 `\sum\sin x_1\geqslant4`。

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回复 2# kuing


果然与凹凸性有关

kuing

回复 3# isee

嗯，2# 写完了。

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回复 1# isee

看到一个高中生可以理解的解法，by 怪怪的僵尸
   
注意`x\in (0,\pi/2),f(x)=\sin x-\frac 2{\pi} x>0`(求导，可知最小值大于零），于是\[\sin \angle 1 + \sin \angle 2 + \cdots+\sin \angle n > \frac 2{\pi}(\angle 1 + \angle 2 + \cdots+\angle n)=\frac 2{\pi}\cdot 2\pi=4.\]

kuing

回复 5# isee

支撑线（割线）法……