`e^x-1-x-ax^2>0`

isee

若`x>0`使`e^x-1-x-ax^2>0`恒成立，求实数`a`的取值范围.

kuing

太乐直接知道 a<=1/2 啊……
高中证明的话也只需不断求导啊……

isee

回复 2# kuing


经典题，一会儿在高中范围内解一下

isee

这里承认`e^x\geqslant x+1`是直接可引用的.
于是`a\leqslant 0`时`(e^x-1-x)+(-ax^2)>0+0=0`是显然满足题设的，下面讨论`a>0`的情形.

\begin{align*}
\forall x>0,e^x-1-x-ax^2&>0\\
\iff g(x)=(1+x+ax^2)e^{-x}&<1,x>0
\end{align*}

于是令\[g'(x)=x(2a-1-ax)e^{-x}=0,x_1=0,x_2=\frac {2a-1}a,\]
当`a>\frac 12`时，`x_2>x_1=0`，所以`x\in (0,x_2)`时`g'(x)>0`，`g(x)`在`(0,x_2)`单调递增，从而有`g(x)>g(0)=1`与题设矛盾.

当`0<a\leqslant \frac 12`时，`x_2<x_1=0`，所以`x\in (0,+\infty)`时`g'(x)<0`，`g(x)`在`(0,+\infty)`单调递减，从而有`g(x)<g(0)=1`，满足题意.

综上所述，`a\leqslant \frac 12`.

其妙

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其妙

罗必塔试一试