两极值差的上界

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已知函数$f\left( x \right)=a\ln x-\frac 2x+2x\left( a\in \mathrm R \right)$.
若$f\left( x \right)$存在两个极值点$x_1,x_2$，且$\left| x_1-x_2 \right|\leqslant\frac 32$，证明$\left| f\left( x_1 \right)-f\left( x_2 \right) \right|\leqslant 10\ln 2-6$.

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求导有`f'(x)=\frac {2x^2+ax+2}{x^2}`，由于`f(x)`在`x\in (0,+\infty)`是连续的函数，
则极值点`x_1`，`x_2`是`f'(x)=0\iff 2x^2+ax+2=0`的两异正根，
于是`x_1+x_2=-\frac a2`，`x_1x_2=1`.

分析导数的正负后，不妨设`x_1`是极大值点，`x_2`是极小值点，
则`0<x_1<1<x_2`，从而极值点的差的绝对值转化为`x_2-x_1\leqslant \frac 32`.

极值差的绝对值等价于`f(x_1)-f(x_2)=a\ln x_1-\frac 2{x_1}+2x_1-a\ln x_2+\frac 2{x_2}-2x_2`.
注意`x_1+x_2=-\frac a2`，`x_1x_2=1`，对上式化简，化为关于`x_1`的式子

\begin{align*}
\frac {f(x_1)-f(x_2)}4&=-(x_1+\frac 1{x_1})\ln x_1+x_1-\frac 1{x_1}=g(x_1)\\
g(x)&=-(x+\frac 1x)\ln x+x_1-\frac 1x\\
g'(x)&=\frac {(1-x^2)\ln x}{x^2}
\end{align*}
另一方面由`0<x_1<1`，`\frac 1{x_1}-x_1\leqslant \frac 32`解得`\frac 12\leqslant x_1<1`，
即上式中`g'(x)<0`，所以`g(x)`在`[1/2,1)`上单调递减，故`g(x)_{\max}=g(1/2)=\frac {5\ln 2-3}2`.

从而`f(x_1)-f(x_2)`的最大值为`4\cdot \frac {5\ln 2-3}2=10\ln 2-6`.


以上过程化二元为一元，计算还比较顺利，运气不错~