求三角形中线最大值

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在三角形`ABC`中，若`B=60^\circ`，`b=\sqrt 3`，则`AC`边上的中线`BD`的最大值为________.

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几何法，记三角形`ABC`的外接圆的圆心为`O`，则`BD\leqslant AO+OD`，即`BD`最大时，三角形`ABC`是等腰三角形`a=c`，(`B=60^\circ`)，所以`BD=\frac 32`.


代数法，由余弦定理`a^2+c^2-ac=3`，由基本不等式，有\[3=a^2+c^2-ac\geqslant a^2+c^2-\frac {a^2+c^2}2\Rightarrow a^2+c^2\leqslant 6,\]再由中线长公式\[BD^2=\frac 12a^2+\frac 12c^2-\frac 34\leqslant 3-\frac 34=\frac 94.\]

其妙

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还可以用向量做