$x^4+16$ 质因子

hbghlyj

呜呜好久不做数论都忘光了,转发qq群里的一道题:

x是24k+17型的数，为什么$x^4+16$只含24k+1和24k+17这两种质因子

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我的思路
$x\equiv 2\pmod3\Rightarrow x^4+16\equiv 2\pmod3$,只需证$x^4+16$只含8k+1型质因子
设p是$x^4+16$的质因子,即$x^4\equiv-16\pmod p$,则$(2^{-1}x)^4\equiv-1\pmod p$,即-1是模p的四次剩余(英文:quartic residue.又名,双重二次剩余,biquadratic residue).
由维基知$p\equiv1\pmod8$,证毕

isee

回复 1# hbghlyj


x^4+16=(x^8−2x^4+2)(……

显然有问题，因式分解

hbghlyj

回复 2# isee
嗯嗯,改好了

realnumber

8k+1 形因子,和forum.php?mod=viewthread&tid=6376&from=favorites  5楼类似.
另外mod3 结果也没问题,但为什么和因子有关联,为什么由此可以得出只含24k+1和24k+17质因子?

hbghlyj

回复 4# realnumber
是这样的:
8k+1型的数可分为3类:
24k+1
24k+9
24k+17
我们通过mod3说明了它不是3的倍数,所以24k+9是不可能的

realnumber

回复 5# hbghlyj


    恩,明白了