$A$连通，$A\subseteq B\subseteq [A]$，则$B$连通。

abababa

$A$是给定的拓扑空间$X$的连通子空间，$B$满足$A\subseteq B\subseteq [A]$，求证$B$也连通。其中$[A]$是$A$的闭包。

下面的证明我看不懂：
假设$B$不连通，则存在$B$的分割$U,V$，由于$A$是$B$的连通子空间，所以$A$或者包含于$U$或者包含于$V$，不妨设$A\subseteq U$，于是$B\subseteq [A]\subseteq U$，显然还有$U\subseteq B$，所以$B=U$，从而$V=\varnothing$，这与$U,V$是$B$的分割（不能是空集）矛盾。

我看不懂的是为什么$[A]\subseteq U$，我觉得这里应该是$[A]\subseteq [U]$，那这样的话，就得不到$B=U$了吧。到底应该怎么证明这个命题呢？

一些定义和已知命题：
拓扑：设$X$是非空集合，$T$是$X$的幂集的子集，若满足(1), $X,\varnothing \in T$。(2), $T$中任意多个元素之并仍在$T$中。(3), $T$中有限多个元素之交仍在$T$中。则称$T$是$X$的一个拓扑。
拓扑空间：集合$X$连同它的拓扑$T$构成拓扑空间，记为$(X,T)$。
通常拓扑：集合$\mathbb{R}^n$中所有开矩形的任意并和有限交构成集合$T$，则$(\mathbb{R}^n,T)$称为$\mathbb{R}^n$中的通常拓扑。无说明时指的都是通常拓扑。
开集：拓扑$T$中的每个元素都称为拓扑空间$X$的开集。
闭集：补集（相对于全空间$X$）是开集的集合称为闭集。
闭包：包含集合$A$的最小闭集称为$A$的闭包，记为$[A]$。
分割：给定拓扑空间$(X,T)$，若$\varnothing\neq U,V\in T, U\cap V=\varnothing,U\cup V=X$，则称$U,V$是$X$的一个分割。
连通：如果$X$不存在分割，则称$X$连通。
子空间：给定拓扑空间$(X,T)$和集合$Y\subseteq X$，则$J=\{Y\cap U: U\in T\}$是$Y$的一个拓扑，称为子空间拓扑，并称$(Y,J)$是$(X,T)$的子空间。
命题：如果$U,V$是拓扑空间$X$的一个分割，$Y$是$X$的连通子空间，则$Y$或者包含于$U$或者包含于$V$。

abababa

回复 1# abababa

经过网友的解释，我明白这个要怎么证明了，关键是那个存在$U,V$不只是存在，而是要构造出来。这需要用到另一个命题：$X$是连通空间的充要条件是：$X$的既开且闭的子集只有空集和它本身。
有了这个命题，就可以构造出$U,V$了。因为假设了$B$不连通，根据这个命题，$B$就存在非空、非本身的既开且闭的子集$U$，然后$V=U^c$（相对于$B$），这样因为$U$是闭集，所以$V$是开集，于是非空开集$U,V$满足$U\cap V=\varnothing, U\cup V=B$，这样$U,V$就成为$B$的一个分割。

然后就仍按原来的证明，只不过这时因为$U$是闭集，所以有$U=[U]$，这样就能进行下去了。

hbghlyj

Theorem 1.85. Suppose that $A$ is a connected subset of a topological space $X$ and $A \subseteq B \subseteq \bar{A}$. Then $B$ is connected.

Proof. Let $U$ and $V$ be open subsets of $X$ such that $B \subseteq U \cup V$ and $B \cap U \cap V=\emptyset$. We will show that one of $U \cap B$ and $V \cap B$ is empty.

Now, $A \subseteq U \cup V$ and $A \cap U \cap V \subseteq B \cap U \cap V=\emptyset$. So, by the connectedness of $A$, one of $U \cap A$ and $V \cap A$ is empty. Say that $U \cap A$ is empty. Then, $A$ lies in the closed set $X \backslash U$. So, by Proposition 1.28, $\bar{A} \subseteq X \backslash U$. So, $U \cap \bar{A}=\emptyset$. Since $B \subseteq \bar{A}$, we deduce that $U \cap B$ is empty, as required. $_\square$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-2-18 23:57
Theorem 1.85. Suppose that $A$ is a connected subset of a topological space $X$ and $A \subseteq B \ ...

关键一步: 从$A\subset X\setminus U$ 与 $X\setminus U$ is closed 推出 $\bar A\subset X\setminus U$