17年学考立体几何

hjfmhh

这个题解答中容易判断O在线段AB中垂线右上方，怎么理解？请教

isee

回复 1# hjfmhh

看图说话
不负责任的说


单选，直接令P→C，就这三个线段长就立刻明大小

hjfmhh

回复 2# isee
能严格证明吗？这个只是一种特例啊

kuing

设 `C'` 到平面 `PAB` 的距离为 `d`，则 `(\sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma)=(d/C'A, d/C'B, d/C'P)`，
所以只需比较 `C'A`, `C'B`, `C'P` 的大小即可。

显然 `C'A>C'P`，麻烦在于 `C'A`, `C'B` 的比较。

注意 `AB=AC'`，故只需考虑 `\angle C'AB` 与 `60\du` 的大小关系即可。

由条件及三面角余弦定理，有
\[\cos\angle C'AB=\sin\angle C'AP\sin\angle BAP\cos60\du+\cos\angle C'AP\cos\angle BAP,\]设 `\angle C'AP=\theta`，则 `\angle BAP=90\du-\theta`，代入即得
\[\cos\angle C'AB=\frac32\sin\theta\cos\theta=\frac34\sin2\theta,\]由 `CP\leqslant CB/4` 易得
\[\theta\leqslant45\du-\arctan\frac12,\]于是
\[\sin2\theta\leqslant\cos\left( 2\arctan\frac12 \right)=2\cos^2\arctan\frac12-1=2\left( \frac2{\sqrt5} \right)^2-1=\frac35,\]（以上由 `CP\leqslant CB/4` 推到 `\sin2\theta\leqslant3/5` 可能有更简洁的处理方法，暂时懒得想）
所以
\[\cos\angle C'AB=\frac34\sin2\theta\leqslant\frac9{20}<\frac12,\]从而 `\angle C'AB>60\du`，即 `C'B>C'A`。

综上即 `C'B>C'A>C'P`，所以 `\beta<\alpha<\gamma`。

同时我们可以看到，`9/20` 离 `1/2` 不远，`\arccos(9/20)` 大约 `63` 度，故当 `CP=CB/4` 时 `C'B` 与 `C'A` 其实已经很接近了，可见原题的 `CP\leqslant CB/4` 这一看似平凡的条件应该是经过精打细算出来的。

isee

回复 4# kuing

挺好~~~




不过，可能会有高考者纠结到底，这个三面角余弦定理，嗯，不能用，咋搞，哈哈哈哈哈哈


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题目：2017年11月浙江学考第18题

等腰直角△ABC斜边BC上一点P满足CP≤CB/4，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′-AP-B为60°.  

记直线C′A，C′B，C′P与平面APB所成角分别为a，β，γ，则 （ C ）

A.a＜β＜γ      
B.a＜γ＜β         
C.β＜a＜γ     
D. γ＜a＜β

kuing

回复 5# isee

不能用，那就过 `P` 作 `AP` 的垂面，交 `AC'` 于 `M`，交 `AB`（延长线）于 `N`（不画图了自己想象），则 `\angle MPN` 就是二面角 `C'`-`AP`-`B` 的平面角，即 `\angle MPN=60\du`。
记 `AP=p`，则 `AM=p/\cos\theta`, `AN=p/\sin\theta`, `PM=p\tan\theta`, `PN=p\cot\theta`。
由余弦定理
\[MN^2=PM^2+PN^2-PM\cdot PN=AM^2-p^2+AN^2-p^2-p^2=AM^2+AN^2-3p^2,\]再由余弦定理
\[\cos\angle C'AB=\cos\angle MAN=\frac{AM^2+AN^2-MN^2}{2AM\cdot AN}=\frac{3p^2}{\frac{2p^2}{\sin\theta\cos\theta}}=\frac34\sin2\theta.\]
之后如果还要避免反三角，那就在 `\triangle APC` 中，由 `CP\leqslant CB/4` 得 `AP/PC\geqslant\sqrt5`，即 `\sin45\du/\sin\theta\geqslant\sqrt5`，故
\[\sin\theta\leqslant\frac1{\sqrt{10}}\riff\sin2\theta\leqslant2\cdot\frac1{\sqrt{10}}\cdot\frac3{\sqrt{10}}=\frac35.\]
这样就完全可以被高中生接受了吧？？

isee

回复 6# kuing

可以可以，普通生一般也不愿意看，哈哈哈哈哈，有了极限法就回不来了

色k

回复 7# isee

也是，楼主也不见人了。

hjfmhh

大家想复杂了，其实求出D的轨迹是圆弧，就真的显然了

kuing

回复 9# hjfmhh

看旧帖又看到这儿，还是不觉得显然……
是这个意思吗：

这里由条件知 OD = CD/2，如何容易判断 O 在中垂线上方？
书上写的 OD < CB/8 怎么用呢？（毕竟 3/8 > √2/4）