四层空心方阵变五层——小学三年级四年级奥数

isee

一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵，后来小明又添入32个棋子,这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵(不能移动原来的棋子),那么开始最少有几个棋子？

色k

看不懂题……
什么叫四层空心方阵呢？
是叠起来，叠到四层高，中间是空的而且不会倒下？棋子是圆的还是方的？

isee

回复 2# 色k

中间最少3x3，如图，这是两层，平面的，在外在加一圈就是三层的

abababa

回复 3# isee

如果某一层的边长是$n$，它外面第一圈的边长就是$n+2$，所以已知的四圈边长分别是$n,n+2,n+4,n+6$。然后加入的$32$个或者本身能构成一圈，那就是$32+4=6^2$，可见这$32$个在这种情况下必须排成边长是$6$的，如果排在$n+6$的外面就排不下，所以只能排在最里面，也就是$n-2$那层，这样$n-2=6$，就有$n=8$，然后就能算出总共的了：$4(n+n+2+n+4+n+6)-4(4+4+4+4)=112$个。

如果加入的$32$个使原来的圈的边变得更密，这样的情况也可以吧，比如在图中最里层的左边上，原来是$6$个，现在每两点间放一个点，变得更密成$11$个，这样也允许吧，这种情况还没想好。

abababa

回复 4# abababa

如果加入的$32$个点使边变得更密，则分别需要使四圈的单条边上增加$n-1,n+1,n+3,n+5$个点，总共增加了$4(n-1+n+1+n+3+n+5)\le32$个点，则$n\le0$，所以这种情况不可能。

isee

回复 4# abababa

有问题，32颗加在最里，即最小圈内加个圈，应是边（长上的数目）为9的正方形。



不考虑在中点加，即假定最小方框，且只有这一种，就是单位正方形

abababa

回复 6# isee

是的，我那个$32+4=6^2$错了，应该是$32+4=4n$，然后边长$n=9$，那这样其实可以排在最外层，只不过中间空了一些。

isee

回复 7# abababa

空间方阵，中间必须是空的

这一道小学，大约是三年级，四年级的奥赛题。

你画的这个图去掉正中心的哪了个点，就是四层空方阵，因此，五层空心方阵至最外层至少需要40个。
于是32个无法排在最外层。

当32个排在最里层时，原四层方阵有棋子：40+48+56+64=208个。

isee

回复 8# isee

接上楼，


之所以发上来，是因为，像我们都不知到什么方阵且没有实物摆放时，容易漏掉一种重组的情形：
在最里层摆一行一列，然后在最外层的另外两边也摆一行一列。

此时，设原四层空心方阵的最里层的边上有 n 个棋子，则向最里（添加）摆的棋子个数为 2n-5——有省略，请画图自行理解（参考示意图，3层变4层画叉的为新加）——最外层需摆的棋子个数为 2n+13，于4n+8=32，n=6。

即原四层空心方阵原来棋子：20+28+36+44=128个。

从而原四层空心方阵最小棋子数为128个。。。。

abababa

回复 9# isee

那在不改变点的间距（假设改变间距的这种情况不存在解）的情况下，可以设原方阵最里层的边上是$m$个，新方阵最里层的边上是$n$个，这样就能得到不定方程了吧。
\[4(m+m+2+m+4+m+6)-4\cdot4+32=4(n+n+2+n+4+n+6+n+8)-4\cdot5\]
忘了新方阵要减去四个角，得到的方程应该是$4m+1=5n$，方程的解是$n=5,m=6$。只是不确定怎么排出这个方阵来。