含60度的正弦3倍角公式的韦达定理的证明

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见到知乎上 云浅知处 解答`\sin 10^\circ\sin 50^\circ\sin 70^\circ` 过程联想到的。


考虑到`\sin 3A=3\sin A-4\sin^3A`，而`\sin 3(60^\circ-A)=\sin 3A`，`\sin 3(-60^\circ-A)=\sin 3A`，于是\[-4x^3+3x-\sin 3A=0,\]有三个根\[\sin A,\sin (60^\circ-A),\sin (-60^\circ-A),\]由韦达定理有\[\sin A\sin (60^\circ-A)\sin (-60^\circ-A)=-\frac {\sin 3A}4,\]即`\sin 3A=4\sin A\sin (60^\circ-A)\sin (60^\circ+A)`。

其妙

这个证明不赖