先要指对数运用再恒成立求参数范围

isee

已知偶函数$f\left( x \right)=\log_2\left( 4^x+1 \right)-kx$，$k\in \mathrm R$，若$g\left( x \right)=2^{f\left( 2x \right)}-m\cdot 2^{f(x)+1}\geqslant 1$恒成立，求实数`m`的范围．

isee

回复 1# isee


(1)`f(x)-f(-x)=0`可以得到`2(k-1)x=0`恒成立，于是`k=1`.

(2)(请耐心细心化简，初学者），此时\[g(x)=2^{2x}+2^{-2x}-2m(2^x+2^{-x})=t^2-2mt-2\geqslant 1,t=2^x+2^{-x}\geqslant 2,\]

然后分离出\[2m\leqslant t-\frac 3t,\]而右边的最小值为`\frac 12`，从而`m\leqslant \frac 14`.