$\sin^3 \alpha+\sin^3 \beta+\sin^3 \gamma=1$

wsg

设 $0<\alpha, \beta, \gamma<\frac{\pi}{2}$，且 $\sin^3 \alpha+\sin^3 \beta+\sin^3 \gamma=1$，求证 $\tan^2 \alpha+\tan^2 \beta+\tan^2 \gamma \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2}$．

kuing

由均值有
\[\tan^2\alpha=\frac{\sqrt2\sin^3\alpha}{\sqrt{2\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}}\geqslant\frac{\sqrt2\sin^3\alpha}{\sqrt{\left( \frac{2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\cos^2\alpha}3 \right)^3}}=\frac{3\sqrt3}2\sin^3\alpha,\]同理有另外两式，相加即得证。

注：原不等式其实无法取等，上述均值取等为 `2\sin^2\alpha=\cos^2\alpha` 即 `\sin\alpha=1/\sqrt3`，另外两个同理，这就不满足立方和为 1 的条件了。

事实上，按原题条件，有
\[\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\tan^2\gamma\geqslant\frac3{\sqrt[3]9-1},\]这个才是可以取等的，而且切线法可行。