二元比较大小

isee

已知函数`f(x)=\ln x-x`，若`m>n>0`，比较\[\frac{f(m)+m-f(n)-n}{m-n}\text{与}\frac{m}{m^2+n^2}\]的大小.

kuing

题目真怪，左边直接写成 `\dfrac{\ln m-\ln n}{m-n}` 不好吗？
搞个 f 出来做啥，是不是还有第一小问之类的原题？

左边分母乘过去，换个元变成单变量，应该没啥问题吧？

isee

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考卷里是这样的啊好送几分啊，是有第一问，不过，是g(x)，其实都没啥关系.


纯粹的二元不等式，实际上是

isee

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这个不等式太弱了，直接可以用对数均值不等式放过去，可以算是一眼看尽系列了

isee

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    熟知任意不等正实数`a,b`有`\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}2`于是有\[\frac{f(m)+m-f(n)-n}{m-n}=\frac{\ln m-\ln n}{m-n}>\frac 2{m+n},\]而\[\frac 2{m+n}>\frac 2{2m+\frac{2n^2}m}=\frac{m}{m^2+n^2}\]是非显然的.

isee

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所谓双元化一元，在这里是指令`\dfrac mn=x`，则等价于比较\[\frac 1n\cdot \frac{\ln x}{x-1}\text{与}\frac 1n\cdot \frac 1{x+\frac 1x}.\]