一眼看尽方程的解`e^x-1=\ln(x+1)`

isee

(源自 youtube 的 SyberMath 的视频)

解方程\[\mathrm e^x-1=\ln(x+1).\]

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这是个超越方程，在高中是没有“通法”的.

不过，通常可以先猜后证，从函数零点入手.

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法1

令\[f(x)=\mathrm e^x-\ln(x+1)-1,\]注意到`f(0)=0`，下面原方程仅有一个实根`x=0`.

对`f(x)`求导有\[f'(x)=\mathrm e^x-\frac 1{x+1},\]此时`f'(x)`明显是增函数，且`f'(0)=0`，再进一步讨论导数的符号知`f(x)_{\min}=f(0)=0`，因此原方程仅有惟一的实根0.



法2

从不等式入手，即以曲代直.

\[e^x-1\geqslant x\geqslant \ln (x+1),\]方程成立时当且仅当两号同时成立……




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法3


即原视频中的解法，此解法我倒是在解方程中首见

令$$\mathrm e^x-1=\ln(x+1)=t，$$则\[x=\ln(t+1),t=\ln(x+1)\Rightarrow x=t,\]即转化为方程`\mathrm e^x=x+1`，而此方程是非常常见熟知的