\(\left[ \frac 1{S_1}+\frac 1{S_2}+\cdots +\frac 1{S_{100}} \right]=?\)

isee

对于实数$x$，定义\(\left[ x \right]\)表示不超过$x$的最大整数，已知正项数列$\left\{a_n\right\}$满足：$a_1=1$，$S_n=\frac 12\left( a_n+\frac 1{a_n} \right)$，其中$S_n$为数列$\left\{ a_n \right\}$前$n$项和，则\(\left[ \frac 1{S_1}+\frac 1{S_2}+\cdots +\frac 1{S_{100}} \right]=\)_18_.

kuing

递推消 S 后就是《撸题集》P.870 题目 6.5.32 了。
或类似的：forum.php?mod=viewthread&tid=5748

isee

回复 2# kuing

呃，这算是有难度了，我都没想到这二者实质相同~真是此一时彼一时也

isee

回复 1# isee

楼上说的是消`S_n`，此处直接消`a_n`更合适些，即
\[2S_n=S_n-S_{n-1}+\frac 1{S_n-S_{n-1}}\Rightarrow S_n^2-S_{n-1}^2=1,\]下面的路还比较长，不过，还是略了，哈哈哈