已知三角形周长为`4`且满足`a=bc \sin^2 A`，求三角形面积.

isee

已知三角形周长为`4`且满足`a=bc \sin^2 A`，求三角形面积.





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知乎看到的，禁不住写了个回答。。。

isee

由三斜求积，继续分解因式，可以得到三角形面积满足
`16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)` .

由条件 `a=bc\sin^2A` 可得
\[4S^2=\frac{a^2}{\sin^2A}=\frac{a^2}{1-\cos^2A}\\=\frac{a^2}{1-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2}=\frac{4a^2b^2c^2}{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}\\=\frac{4a^2b^2c^2}{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b-c)}, \]

于是
\[（a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\\ =\frac{16a^2b^2c^2}{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b-c)}, \]
去分母化为整式，并将 `a+b+c=4` 代入整理（这个条件太巧了）有
\[\color{red}{abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).} \]

另一方面
\[(a+b-c)(a-b+c)\leqslant\left(\frac{a+b-c+a-b+c}{2}\right)^2=a^2 ，\]
同样的有
\[(a-b+c)(-a+b+c)\leqslant c^2, (-a+b+c)(a+b-c)\leqslant b^2, \]
将这三个不等式相乘即
\[\color{blue}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\leqslant abc,} \]
由红蓝两式可知，仅可取等号，此时有 a=b=c ，即等边三角形，下略.

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PS：这两条件实在是太巧了，估计会很“短”的平几证明.

kuing

齐次化
\[a(a+b+c)=4bc\sin^2A,\]三角化
\[\sin A+\sin B+\sin C=4\sin B\sin C\sin A,\]由均值 `\LHS\geqslant3\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}`，由此可得
\[\sin A\sin B\sin C\geqslant\frac{3\sqrt3}8,\]但熟知有上式的反向不等式恒成立，故只能取等号，即等边。

（也可以用恒等式 `\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2` 得到 `\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2=\frac18` 然后熟知那啥……）

kuing

这样子好看些
\[a=bc\sin^2A\iff\frac a{2\sin A}=\frac12bc\sin A,\]故
\[R=S=\frac{(a+b+c)r}2=2r,\]熟知 `R\geqslant2r`，当且仅当等边三角形取等。

kuing

找到知乎链接，把这俩解答贴过去了zhihu.com/question/476908089/answer/2060961477

isee

找到知乎链接，把这俩解答贴过去了
kuing 发表于 2021-8-15 09:02

这题有搞头看头，是的是的，就是我当时出发点是面积，相对也麻烦了