补录最近人教群几道题（包括一些未解决的）

hbghlyj

wolframalpha.com/input?i=Table%5BSum%5BSin%5Bk%5E2+Pi%2F%282n%29 ... %5D%2C%7Bn%2C6%7D%5D
类似：math.stackexchange.com/questions/2670750/sum-of-a-trigonometric- ... and-tan?noredirect=1

kuing 发表于 2021-8-19 09:33
粤B学生86鱼 2021/8/2 10:18:15
谁来看看这个恒等式，如何证明
\begin{equation}\label1\sum_{k=1}^{2 n-1} \frac{\sin \left(\frac{k^{2} \pi}{2 n}\right)}{\sin \left(\frac{k \pi}{2 n}\right)}=n\end{equation}

根据下面的恒等式

hbghlyj 发表于 2022-11-13 15:47
Variant of identity: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{ikx}=e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2)}{\sin(x/2)}}}$

可以将\eqref{1}中的$\frac{\sin \left(\frac{k^{2} \pi}{2 n}\right)}{\sin \left(\frac{k \pi}{2 n}\right)}$写成级数, 得到二重级数
$$n=\sum _{j=0}^{2 n-1} \sum _{k=0}^{2 n-1-j} \exp \left(\frac{i \pi  }{2 n}(j+k) (j-k+1)\right)$$
证明见此帖