有点平凡的齐7次式的条件求值

isee

若`a+b+c=0`，求\[\frac {a^7+b^7+c^7}{abc(a^4+b^4+c^4)}.\]


依然源自 SyberMath 的视频

isee

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拖了一下视频，视频里做得很规矩.

我是硬算的，直接`c^7=-(a+b)^7`二项式展开，并令`b=at`化为一元，并分解因式有
\begin{align*}
\frac {a^7+b^7+c^7}{abc(a^4+b^4+c^4)}&=\frac {1+t^7-(t+1)^7}{-t(t+1)(1+t^4+(t+1)^4)}\\[1em]
&=\frac {7t(t+1)(t^4+2t^3+3t^2+2t+1)}{2t(t+1)(t^4+2t^3+3t^2+2t+1)}\\[1em]
&=\frac 72
\end{align*}

kuing

令 `x_n=a^n+b^n+c^n`，条件即 `x_1=0`，
由 `(a+b+c)^2=0` 展开得 `x_2=-2(ab+bc+ca)`，
由 `a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(\cdots)` 得 `x_3=3abc`，故
\[\text{原式}=\frac{3x_7}{x_3x_4}.\]
根据特征方程的理论，`a`, `b`, `c` 为数列 `x_n` 的特征方程的三根，即特征方程为
\[(x-a)(x-b)(x-c)=0,\]即
\[x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0,\]因此 `x_n` 满足
\[x_{n+3}-(a+b+c)x_{n+2}+(ab+bc+ca)x_{n+1}-abcx_n=0,\]亦即
\[x_{n+3}=\frac{x_2}2x_{n+1}+\frac{x_3}3x_n,\]所以有
\[x_4=\frac{x_2}2x_2+\frac{x_3}3x_1=\frac12x_2^2,\]以及
\[x_7=\frac{x_2}2x_5+\frac{x_3}3x_4=\frac{x_2}2\left( \frac{x_2}2x_3+\frac{x_3}3x_2 \right)+\frac{x_3}3\cdot\frac12x_2^2=\frac7{12}x_2^2x_3,\]从而
\[\frac{3x_7}{x_3x_4}=\frac{\frac74x_2^2x_3}{x_3\cdot\frac12x_2^2}=\frac72.\]

isee

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    原来是有料的~难怪视频里那么规矩

kuing

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3# 的递推的一般化就是 牛顿等幂和公式。