若两正实数`a+b=1`求`\frac {24}a+\frac 1{b^2}`最小值

isee

若两正实数满足`a+b=1`，求`\frac {24}a+\frac 1{b^2}`最小值.












逮到一个会写的，写一写，哈哈~

化齐次，`t＝\frac{a}{b}` .

\begin{align*} \frac{24}{a}+\frac{1}{b^2}&=\frac{24(a+b)}{a}+\frac{(a+b)^2}{b^2}\\ &=25+\frac{24}t+t^2+2t\\ &=25+\frac 8t+\frac 8t+\frac 8t+t^2+2t\\ &\geqslant 25+5\sqrt[5]{\frac 8t\cdot\frac 8t\cdot\frac 8t\cdot t^2\cdot 2t}\\ &=25+20\\ &=45 \end{align*}

取等略.

kuing

本质三次方程凑好系数有简单根型。

求导 `\frac{24}{(1-b)^2}-\frac2{b^3}`，目测出 `1/3` 是根，于是凑均值等过程。除了楼主的方式，还可以比如
\[\LHS=\frac{24}a+\frac1{b^2}+9-9\geqslant\frac{24}a+\frac6b-9\geqslant\frac{6(2+1)^2}{a+b}-9=45;\]又或者
\[\LHS=\frac{24}a+54a+\frac1{b^2}+27b+27b-54\geqslant2\sqrt{24\cdot54}+3\sqrt[3]{27^2}-54=45;\]等等

isee

回复 2# kuing

不等式专家果然所见略同啊，（后者）


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前者绝了哇，很好解决次数不同，学习了