一道二元不定方程的正整数解

aishuxue

求方程$xy^2-x^2-6y+4=0$的正整数解.

isee

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能目测出一组`(2,3)`

tommywong

wolframalpha.com/input/?i=solve xy^2-x^2-6y+4=0, integer
(-2,-3), (2,0), (-2,0), (2,3), (7,3), (11,-3)

有四個解係$x=\pm 2$
$y(xy-6)=(x-2)(x+2)$

可以證明$3\mid y$但唔知有冇用

abababa

能不能不断地用求根公式？比如$y=\frac{3\pm\sqrt{x^2-4x+9}}{x}$，这样$x^2-4x+9$就是完全平方数，设为$k^2,k\ge 0$，所以$x^2-4x+9-k^2=0$，然后再求根，$x=2\pm\sqrt{k^2-5}$，这样$k^2-5$还是完全平方数，设为$m^2,m>0$，然后就有$k^2-m^2=5$，左边分解因式$(k+m)(k-m)=5=1\cdot 5=-1\cdot -5$，穷举就得出所有的$k$，代回去就得出所有的$x$，然后就解出来了。
穷举得出的$k$是$\pm3$，然后设了$k>0$，所以只有$k=3$，这样的话$x=2\pm 2=4,0$，$x=0$时$y$不是整数，所以整数解只有$x=2,y=3$

aishuxue

求根公式中根号里算错了吧！应该是三次的吧

abababa

回复 5# aishuxue

是的，我算错了。应该是$x^3-4x+9=z^2$，这样就变成椭圆曲线上的整点问题了，对我来说有难度，觉得不太好算。

abababa

回复 6# abababa
发网友的解答，他这里椭圆曲线是$x^3-4x+9=y^2$，用了变量$y$，和前面的区别一下。两边模$x$知$\pm y \equiv 3 \pmod{x}$，所以$-y = kx+3$，于是$y^2 = (kx+3)^2$。
因为$x^3-4x+9 = y^2 = k^2x^2+6kx+9$，移项并约掉一个$x$（$x \neq 0$）得$x^2-k^2x-(6k+4) = 0$，解出$x = \frac{k^2 \pm \sqrt{k^4+24k+16}}{2}$，于是$k^4+24k+16 = T$是完全平方数，但当$k < \frac{1}{2}(-\sqrt{114}-12) = -11.3$时$(k^2-1)^2 < T < (k^2)^2$，$T$在两个完全平方数之间，不能是完全平方数，当$k > \frac{1}{2}(\sqrt{174}+12) = 12.5$时$(k^2)^2 < T < (k^2+1)^2$，$T$也不能是完全平方数，所以$k = -11 \to 12$，穷举得出结果$k = 3,-3,0$，对应的$x = (11,-2), (7,2), (2,-2)$，就解出来了。

aishuxue

回复 7# abababa

谢谢了，辛苦了！，数论真的很有魅力！