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向量证直角三角形内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一.
不妨设`A,B,C` 按逆时针顺序排列，记 `\triangle ABC` 的内心为 `I` ， 延长`CI` 与 `AB` 边相交于点 `M` 则(反复用内角平分线定理）
\begin{align*}
\overrightarrow {CI}&=\frac{CI}{CM}\cdot \overrightarrow {CM}\\ &=\frac{b}{b+\frac{bc}{a+b}}\cdot \left(\frac{a}{a+b}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a+b}\overrightarrow{CB}\right)\\ &=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{CB},
\end{align*}
(上式等价于熟悉的 `a\cdot \overrightarrow {IA}+b\cdot \overrightarrow {IB}+c\cdot \overrightarrow {IC}=\overrightarrow 0`, 但此处不必再向下化为点 `I` 的形式）.
不妨设 `\angle C=90^\circ` ，在上式两边点乘 `\overrightarrow {CA}` ，注意向量数量积的几何意义(即射影)，于是
\begin{align*}
\overrightarrow {CI}\cdot \overrightarrow {CA}&=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow {CA}+\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow {CA}\\ br&=\frac{a}{a+b+c}\cdot b^2+0\\ \Rightarrow r&=\frac {ab}{a+b+c}\\ &=\frac{\frac12((a+b)^2-c^2)}{a+b+c)}\\ &=\frac{a+b-c}{2}.
\end{align*} |
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走走看看
Posted at 2022-2-17 09:15:54
