反比例函数与几何综合的问题

lrh2006

请教各位，谢谢！

kuing

这题目真是……什么 RT△、矩形、反比例啥的，全是画蛇添足……

简化下来其实就是：
点 P(-1,-3), A(a,0), B(0,b) 满足 ∠APB=45°，当 a, b 均为正整数时，求 ab 的值。

kuing

续：如果用常规方法恐怕得出余弦定理啥的了，但显然这题可以取巧。

首先观察发现 a=4, b=1 是符合条件的，如下图：

便可知 a 不能超过 4，因为如果 A 再往右移，那么 B 就得往下移，那 b 就不可能是正整数了。

另一方面，如果 a=2，注意下图中的角是 45°，故不可能有 B 使 ∠APB=45°，所以 a 还必须 > 2。


所以还有 a=3 需要讨论。

又发现 a=3, b=4 也恰好符合，如下图：


综上，只有 a=4, b=1 及 a=3, b=4 两组符合，即 ab=4 或 12。

isee

回复 2# kuing


    这大概是告诉我们这是初中题，不可以到角公式。

isee

续：如果用常规方法恐怕得出余弦定理啥的了，但显然这题可以取巧。

首先观察发现 A(4,0), B(0,1) 是符合条 ...
kuing 发表于 2021-8-27 22:49

这种已知一角的题，我发现在反比例函数里用到角公式十分简洁，这次也是~

kuing

回复 5# isee

哦，我的确想错了看看咋改……

kuing

回复 5# isee

现在OK了吧？

isee

回复 7# kuing


    肯定是这两解了，不限定解法的话。

    几何法就留给乌贼来画吧，这个45度似乎看不到简单的方案


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当然，可作构造正方形，但是这也要结合图形算，如以PB向下作正方形`PBA'Q`(字母顺时针排列)，由于B，P坐标已知，则Q点坐标可求，于是QB中点亦可求，于是PA直线可求。

这样就用点B的坐标，可以表示点A的坐标，在通过正整数条件，理论上可解。

kuing

回复 5# isee

哦，我还是有点傻，(3,4) 符合，那还用证 (3,3) 吗

isee

回复 9# kuing

哈哈哈哈哈，出发点不同吧，思考点不同就是这样，反过来一看，多好玩啊

kuing

回复 10# isee

3# 再次修改完毕，就酱吧……

乌贼

如图：
作正方形，可知（代数不知如何求证），当$ B(0,b) $，\[ b\geqslant 1 \]时，$ AP $的斜率$ K $\[ 1>K\geqslant \dfrac{3}{5} \] 也就是$ A(a,0) $\[ 2<a\leqslant 4 \]所以$ a $只能\[ a=4 \]或\[ a=3 \]而一个$ a $只能对应一个$ b $，故只有\[ a=4,b=1 \]或\[ a=3,b=4 \]

lrh2006

明白了，谢谢三位！你们做题的样子让人好生敬佩！突然想起有一次kk研究土字旁的尊和士字旁的尊，嘻嘻~
不好意思，前些日子手不好，使用受限都没有上论坛

kuing

回复 13# lrh2006