一道内角为120°的三角形线段和相等证明题

郝酒

RT，∠C=120°，AD=BC，∠A=2∠BDE，求证：AC=BD+BE

kuing

一下就想起了这题：forum.php?mod=viewthread&tid=6337 不知有没有关联哩？

PS、怎么 CE 一段蓝一段黑

isee

爆力计算方法可以不？PS:这题似乎在知乎见到过，就晃了一眼，好像是

kuing

回复 3# isee

算也无需用多少力啊……

记三边 a,b,c，作角平分线 AG，则它与 DE 平行，由角平分线定理易得
\[GB=\frac c{b+c}a,\]故
\begin{align*}
BD+BE&=BD+\frac{BD}{AB}\cdot GB\\
&=c-a+\frac{c-a}c\cdot\frac c{b+c}a\\
&=\frac{(c-a)(a+b+c)}{b+c}\\
&=\frac{c^2-a^2-ab+bc}{b+c}\\
&=\frac{b^2+bc}{b+c}\\
&=b.
\end{align*}

乌贼

如图：
作平行四边形$ ACBF $，有\[ \angle DEC=60\du -\angle BDE=\angle BFD \]
即$ BEDF $四点共圆，$ G $为$ AO $与圆的交点，$ GH\px BC $，有\[ \angle DBG=\angle FBG=\dfrac{1}{2}\angle BAC=\angle BDE \]，也就是\[ EG\px BF\\ED\px BG \]且$ \triangle FGH $为正三角形，所以\[ AC=BF=BH+HF=EG+GH=BD+BE \]

isee

回复 4# kuing


    对就是这个意思~

郝酒

谢谢众位大侠。
昨天拿几何画板画了下，把一些元素隐藏了截的图，出现了一段黑一段蓝的情况。
我也想着做平行四边形，用角平分线做到外面去了，条件用得不充分。

乌贼

回复 13# kuing
这个KK玩的什么花样，变卡了，上不了图，不知显示如何（还好）
如图：
作正$ \triangle ACF $，取$ BP=BA,PF=CQ $，有\[ BD=CP=FQ \\\angle FAP=\angle QAC=BDE=\angle BAM\]
作$ \triangle AFQ $外接圆交$ \angle BAC $平分线于$ M $，交$ AC $于$ N $，有\[ \angle ANM=\angle AFM=\angle DBE \]所以\[ \triangle ANM\cong \triangle DBE \]即\[ AC=AN=NM=DB+BE \]

kuing

回复 15# 乌贼

正在测试新的 mathjax ，有各种问题只是暂时嘀
不过怎么会影响到贴图？

算了，还是暂且先恢复原状，晚点再研究一下。

PS、为免影响题目的讨论，将公式相关回帖分割出去，并移到站务区。

isee

回复 8# 乌贼


    重上图！

色k

这题似乎在知乎见到过，就晃了一眼，好像是
isee 发表于 2021-8-28 00:35

zhihu.com/question/482202392

乌贼

回复 11# 色k
要上图时，提示版本太旧，需要在flash中心更新

乌贼

回复 10# isee
上不了

kuing

回复 12# 乌贼

这显然和我下午测试公式无关啊，现在也已经恢复到原先的设置。
传图提示 flash 问题也不是今天的事了，去年就说过：forum.php?mod=viewthread&tid=7131

乌贼

回复 14# kuing
我搞错了，选择“批量上传”

乌贼

回复 1# 郝酒
建议把出处链接也贴贴，我的解法知乎上都有，瞎忙了

isee

回复 16# 乌贼


    不不不，是我似乎见过，结果kuing真找到了。与楼主无关。


    其次，解法类似乃至相同重复很平常的，解题嘛，图个自我思考的快乐。

    就像我当时脑中三角一过，就知道可解，真正解出那是另一回事儿了