一眼看尽`a_1=1,5a_n=3a_{n-1}+2`的通项

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若数列`\{a_n\}`满足`a_1=1,5a_n=3a_{n-1}+2`，则`a_n=`___________.

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关键词：一阶线性递推数列的通项.


答案：`a_n=1`,此题因为`a_1=1`数值过于特殊，让其一眼望到底，以下解法是通法，`a_1\ne 1`亦成立.

提示：将`5a_n=3a_{n-1}+2`整理为“标准”递推形式`a_n=\frac 35a_{n-1}+\frac 25`.



法1（最大众）
(将"`a_n,a_{n-1}`"均用`x`替换，即`5x=3x+2`，有`x=1`，于是`\{a_n-1\}`为等比数列（`a_1\ne 1`时），且公比为`\frac 35`)

\begin{align*}
a_n&=\frac 35a_{n-1}+\frac 25\\
a_n-1&=\frac 35a_{n-1}+\frac 25-1\\
a_n-1&=\frac 35(a_{n-1}-1)
\end{align*}
反复迭代（直接用等比通项公式写结果亦可）,下略




法2（也常见）
\begin{align*}
a_n&=\frac 35a_{n-1}+\frac 25\\
\frac {a_n}{(3/5)^n}&=\frac{a_{n-1}}{(3/5)^{n-1}}+\frac{2/5}{(3/5)^n}
\end{align*}
然后累加




法3（差分，同形异角）
\begin{align*}
a_n&=\frac 35a_{n-1}+\frac 25\\
a_{n-1}&=\frac 35a_{n-2}+\frac 25\\
\Rightarrow a_n-a_{n-1}&=\frac 35(a_{n-1}-a_{n-2})
\end{align*}
再累和



法4（先猜后证，数学归纳法）
略




法5（结果熟了）
认真求了结果的，已经知道了，此类`a_n=pa_{n-1}+q`的最后的通项结构一定是`a_n=A+B p^{n-1}`，代入`a_1`，`a_2`即可求出`A，B`.



法6（可能能微分，偶不会）