一个不等式

realnumber

\[ \sum_{i=1}^{n}i\ln{\frac{2i}{n}}\ge 0\]
在证明上面这个时,碰到一个样子不错的不等式$(1-t)^{1-t}(1+t)^{1+t}\ge 1 ,\abs t<1$
改为下面也成立.用了下数归
\[ \sum_{i=1}^{n}i\ln{\frac{2i}{n+1}}\ge 0\]




分享一下,小伙在考察某算法时间复杂度下限时,碰到的两个不等式

kuing

\[\sum_{i=1}^ni\ln\frac{2i}{n+1}=\frac{n+1}2\left( {\sum_{i=1}^n\frac i{n+1}\ln\frac{2i}{n+1}+\sum_{i=1}^n\frac{n+1-i}{n+1}\ln\frac{2(n+1-i)}{n+1}} \right),\]令
\[f(x)=x\ln(2x)+(1-x)\ln\bigl(2(1-x)\bigr),x\in(0,1),\]求导得
\[f'(x)=\ln(2x)-\ln\bigl(2(1-x)\bigr)=\ln\frac x{1-x}\riff f(x)\geqslant f(0.5)=0.\]

isee

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会不会是类题？

kuing

回复 3# isee

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