求三元不等式的最小系数

lemondian

色k

先试 111、011 之类的特殊值来猜 λ 的最值，这里目测应该是 011 的那个，就是1/8，然后证它成立，展开配schur估计可行。（爪机回复，只能提示）

yao4015

注意到，当 $(x,y,z)=(1,1,0)$ 时可算出 $\lambda=\frac{1}{8}$. 所以只需证明
\[
xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)\leq \frac{1}{8}(x+y+z)^4.
\]
通过平方差公式，我们有
\begin{align*}
&(x+y+z)^4-(x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx)^2\\
&=(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)^2-(x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx)^2\\
&=(2x^2+2y^2+2z^2)(4xy+4yz+4zx)\\
&=8xy(x^2+y^2)+8yz(y^2+z^2)+8zx(z^2+x^2)+8xyz(x+y+z)\\
&\geq 8xy(x^2+y^2)+8yz(y^2+z^2)+8zx(z^2+x^2).
\end{align*}
所以有
\[
(x+y+z)^4\geq 8xy(x^2+y^2)+8yz(y^2+z^2)+8zx(z^2+x^2).
\]

一行装X证明就是
\[
(x+y+z)^4-8[xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)]=(x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx)^2+8xyz(x+y+z)
\]