一道只涉及圆的解析几何题

郝酒

已知$A,B$是圆$C:(x-2)^2+(y-2)^2=4$上两个不同的动点，延长$AB$至$D$，使得$\vv{AB}=\vv{BD}$，若$\vv{OD}^2+3\vv{OA}^2=48$，其中，$O$为坐标原点，则弦$AB$中点$M$的纵坐标取值范围是？

kuing

双字母向量建议用 \vv 而非 \vec
不过，就这题来讲，写向量明显是多余的

记 `AM=m`，则 `DM=3m`，由 *特**特 定理，有
\[OD^2\cdot m+OA^2\cdot3m-OM^2\cdot4m=4m\cdot m\cdot3m,\]约一个 `m` 并代入条件得
\[48-4OM^2=12m^2,\]故
\[12-OM^2=3m^2=3(R^2-CM^2)=12-3CM^2,\]所以
\[OM=\sqrt3CM,\]下略。

isee

回复 2# kuing

晕了晕了，得到相同结果后，没画图，没注意点 $C$ 也是定点……想时真不能马虎啊~

*特**特=Stewart，英文倒是短

player1703

回复 3# isee
哈哈我也想了半天才想到是阿氏圆

走走看看

如果不用“斯特瓦尔特定理”，这题就只能用向量知识来解，才方便。