$\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}\le\sqrt{n}$

abababa

复系数多项式$f(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$满足对任意的$\abs{z}\le1$都有$\abs{f(z)}\le1$，求证$\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}\le\sqrt{n}$

感觉和多项式关系更密切，但分类里没有多项式。

xcx

2019命题研讨会A17 曾卫国老师的题目 javascript:;

abababa

回复 2# xcx

谢谢。$n\ge$的那个，第二行第一个求和号，接着上面的是不是应该为$\sum_{k=0}^{n-1}$？没有到$n$。
这个第三行的第二个等号，我暂时还没弄明白怎么等过去的。

abababa

回复 2# xcx

这个第二行的等式不对吧？如果令$n=1$，这时只有一个$\omega=\omega_0=1$，然后
\[\sum_{k=0}^{n-1}\left[\left(\sum_{i=0}^{n}a_i\omega_k^i\right)\left(\sum_{i=0}^{n}\overline{a_i\omega_k^i}\right)\right]=(a_0+a_1)(\bar{a}_0+\bar{a}_1)\]

但下一行的
\[\sum_{k=0}^{n}\left[\sum_{m=0}^{2n}\sum_{i+j=m}a_i\bar{a}_j\omega_k^i\omega_k^{-j}\right]=2(a_0+a_1)(\bar{a}_0+\bar{a}_1)\]

上下两行不相等啊，后面就都不对了吧。