解三角形求边长

realnumber

三角形ABD中,C为边AD上一点,又AB=CD=1,角ABC为直角,角ABD等于120度.求AC的长度.(初三,可以 用高中办法)



设∠CDB=β,得到
$2\sin β \cos (\frac{\pi}{3}-β)=\sin (\frac{\pi}{3}-β)$ 然后不知道怎么办了,余弦定理似乎也复杂

kuing

作 `DH\perp BC` 于 `H`，如上图，则
\[HC=\frac{HD}{HD+BA}\cdot HB=\frac{\sqrt3x^2}{x+1},\]于是得方程
\[x^2+\frac{3x^4}{(x+1)^2}=1,\]去分母恰好可以分解
\[(2x+1)(2x^3-1)=0,\]所以 `AC=1/x=\sqrt[3]2`，尺规不可作呢

isee

回复 1# realnumber

那就用初中方式，作辅助线好了，只是数据麻烦.





如图$E$是垂足，设$BC=m$，则$BE=
\frac m2,CE=\frac {\sqrt 3m}2,$ 进一步
$AD=\frac {AB}{BE}\cdot CD=\frac 1{m/2}\cdot 1=\frac 2{m},$从而$\left(1+\frac m2\right)^2+\frac 34m^2=\left(1+\frac 2{m}\right)^2\Rightarrow m=\sqrt[3]4.$

于是$AC=1+\frac 2{\sqrt[3]4}.$


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字母顺序不一样，所以不是主楼要的答案

kuing

回复 3# isee

慢我一步啦

PS、字母 C 和 D 标反啦

isee

回复 4# kuing

算了算了，搁那了。

总之，以下图为例

有$$\frac{DC}{CA}=\frac{BD\sin DBC}{BA\sin ABC},$$这个不起眼的“定理”。

kuing

回复 5# isee

嗯，这样简单，直接得到答案，不用分解啥的（我搞错了

isee

回复 6# kuing

我本意是指建立$AC$，$BD$关系，求值还是很容易降次的高次方程吧

乌贼

看到题就想到圆
\[ BC=\sqrt{x^2-1} \]\[ DE=\dfrac{x+1}{\sqrt{3}} \]\[ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{CD}{DE}\riff \sqrt{x^2-1}=\dfrac{1}{\dfrac{x+1}{\sqrt{3}}} \]即\[ x^4+2x^3-2x-4=0 \]\[ (x^3-2)(x+2)=0 \]有\[ x=\sqrt[3]{2} \]

realnumber

感谢中......