一元平均值的不等式

ljh25252

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对第三个式子有答案如下:

答案提供者:吉林——断水桥

ljh25252

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对于第一个式子我们有:
$$
\ln\frac{I}{G}=\frac{A}{L}-1=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2k}
$$
第二个式子同样可以如上操作

ljh25252

下面给出一些奇怪的应用

ljh25252

我们有条件如下
$$
f(x)=\frac{\ln x}{x},f(x_1)=f(x_2)=a
$$
我们通过比值代换可以得到
$$
\begin{align*}
&x_1=e^{\frac{1}{L}}\quad x_2=G^2e^{\frac{1}{L}}\quad a=\left(Le^{\frac{1}{L}}\right)^{-1}\\
&x_1+x_2=2Ae^{\frac{1}{L}}\quad x_1x_2=\left(Ge^{\frac{1}{L}}\right)^2\\
&|x_2-x_1|=x_2-x_1=(G^2-1)e^{\frac{1}{L}}=2(A-1)e^{\frac{1}{L}}
\end{align*}
$$

ljh25252

对于一些极值点偏移就有一些等价关系
$$
\color{red}{x_1+x_2>\frac{2}{a}\Leftrightarrow 2Ae^{\frac{1}{L}}>2Le^{\frac{1}{L}}\Leftrightarrow A>L}
$$
$$
\color{blue}{x_1+x_2>\frac{3}{a}-e\Leftrightarrow 2A-3L>e^{\frac{L-1}{L}}}
$$
而
$$
\color{blue}{2A-3L>-H>-e^{\frac{L-1}{L}}}
$$

ljh25252

$$
\frac{e}{a}<x_1x_2<\frac{1}{a^2}\Leftrightarrow\begin{cases}
x_1x_2<\frac{1}{a^2}\\
x_1x_2>\frac{e}{a}\\
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\left(Ge^{\frac{1}{L}}\right)^2<L^2e^{\frac{2}{L}}\Leftrightarrow G<L\\
\left(Ge^{\frac{1}{L}}\right)^2>eLe^{\frac{1}{L}}\Leftrightarrow I>L
\end{cases}
$$

ljh25252

$$
\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>\frac{2}{\sqrt{a}}\Leftrightarrow e^{\frac{1}{2L}}+Ge^{\frac{1}{2L}}>2\sqrt{L}e^{\frac{1}{2L}}\Leftrightarrow A+G>2L
$$

ljh25252

$$
f(x)=x-\ln x,f(x_1)=f(x_2)=m
$$
有
$$
x_1=\frac{G}{L},x_2=\frac{1}{L}
$$
$$
x_1x_2(x_1+x_2)<2\Leftrightarrow \frac{G}{L}\left(\frac{G}{L}+\frac{1}{L}\right)<2\Leftrightarrow L^3>AG^2
$$
另外如果令元为2,还能得到一个零元不等式:
$$
\color{blue}{\ln2<\sqrt[3]{\frac{1}{3}}}
$$
这还是比较不错的.

isee

$$
f(x)=x-\ln x,f(x_1)=f(x_2)=m
$$
有
$$
x_1=\frac{G}{L},x_2=\frac{1}{L}
$$
$$
x_1x_2(x_1+x_2) ...
ljh25252 发表于 2021-9-25 12:19

     本坛子的特点就是自娱自乐，high~才有人看一眼，哦，不，学习，学习 28# \[\left(\frac{x-1}{\ln x}\right)^3>\frac{x(x+1)}{2}\]

ljh25252

如果我们令
$$f(x)=\frac{\ln x}{x}\quad f(x_1)=f(x_2)=a$$
那么
$$\ln f(x)=\ln\left(\frac{\ln x}{x}\right)=\ln\ln x-\ln x$$
此时令$t=\ln x$有
$$-g(t)=\ln f(e^t)=\ln t-t\quad g(t_1)=g(t_2)=b$$
那么我们有
$$
\begin{align*}
&t_1=\ln x_1=\frac{1}{L}\quad t_2=\ln x_2=\ln G^2+\frac{1}{L}\quad b=-\ln a=\frac{1}{L}(1-\ln L)\\
&t_1+t_2=2\left(\frac{1}{L}+\ln G\right)\quad t_1t_2=\frac{1}{L}\left(\frac{1}{L}+\ln G^2\right)
\end{align*}
$$

ljh25252

$$
g(t)=\ln t-t\quad g(t_1)=g(t_2)=b
$$
$$
\begin{align*}
t_1t_2<\frac{2}{1+b}&\Leftrightarrow\frac{1}{L}\left(\frac{1}{L}+\ln G^2\right)<\dfrac{2}{1+\ln L+\frac{1}{L}}\\
&\Leftrightarrow G^2=(1+L\ln G^2)<\frac{2L^2}{1+\ln L+\frac{1}{L}}\\
&\Leftrightarrow\frac{L^3}{G^2}\color{red}{\geq A\geq }\frac{L+1+L\ln L}{2}
\end{align*}
$$

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回复 31# ljh25252
这可以看出,这个极值点偏移比楼上的那个要弱一点

ljh25252

另外
$$
A\geq\frac{1+L+L\ln L}{2}\Leftrightarrow 2A-L\geq1+L\ln L
$$
这个还可以等价于如下命题
$$
f(x)=\frac{\ln x}{x}\quad f(x_1)=f(x_2)=a
$$
$$
\frac{1-\ln a}{a}<x_1+x_2\Leftrightarrow Le^{\frac{1}{L}}\left(1+\ln L+\frac{1}{L}\right)<2Ae^{\frac{1}{L}}\Leftrightarrow 1+L\ln L<2A-L
$$

ljh25252

$$
1+L\ln L
ljh25252 发表于 2021-9-24 12:51

12楼的不等式等价于
$$
f(x)=\frac{\ln x}{x}\quad f(x_1)=f(x_2)=a
$$
$$
\frac{1-\ln a}{a}<x_1+x_2<\frac{2-4\ln a}{3a}
$$
该不等式是线性最佳的