已知 $ (2x+\sqrt{1+4x^2})(3y+\sqrt{1+9y^2})=1$，求 $ x/y $ 的值

TSC999

已知 $ x, y$  为实数，且 $ (2x+\sqrt{1+4x^2})(3y+\sqrt{1+9y^2})=1$，求 $ x/y $ 的值。

isee

回复 1# TSC999


哈哈哈，还还以为只有（0，0）这一组解

色k

所求的比值不确定吧？

TSC999

回复 3# 色k
比值是确定的，x /y = -1.5， 我是用软件求得的这个结果，但是人工如何做，不会。

色k

回复 4# TSC999

不知你咋用的软件？你试试代 x=1 和 x=2 用软件算算 y 分别是多少

TSC999

回复 5# 色k

x=1 时 y=-2/3;
x=2 时 y=-4/3;
x=-7.267 时 y=4.84467;
总之  x/y=-1.5。
只有一种特殊情况是 x=y=0 也可以。
用的软件是 mathematica，见下图。

$\begin{aligned} & \text { Solve }\left[\left(2 x-\sqrt{1+(2 x)^2}\right)\left(3 y-\sqrt{1+(3 y)^2}\right)==1,\{y\}\right] \\ & \left\{\left\{y \rightarrow-\frac{2 x}{3}\right\}\right\}\end{aligned}$

isee

回复 6# TSC999


    你这根号下x方里有个2，与主楼不同

isee

回复 7# isee

如果题目是\[\left(2x+\sqrt{1+4x^2}\right)\left(3y+\sqrt{1+9y^2}\right)=1,\]这倒是好办，记$f(x)=\sqrt{1+x^2}+x=\frac 1{\sqrt {1+x^2}-x}$，显然$f(x)$是增函数，易知$f(x)\in (0,+\infty)$.

\begin{align*}
\left(2x+\sqrt{1+4x^2}\right)\left(3y+\sqrt{1+9y^2}\right)&=1\\
2x+\sqrt{1+4x^2}&=\frac 1{3y+\sqrt{1+9y^2}}\\
2x+\sqrt{1+4x^2}&=\sqrt{1+9y^2}-3y\\
f(2x)&=f(-3y)\\
2x&=-3y.
\end{align*}

kuing

回复 8# isee

对原式两边乘 `\sqrt {1+4x^2}-2x` 得
\[3y+\sqrt {1+9y^2}=\sqrt {1+4x^2}-2x,\]对原式两边乘 `\sqrt {1+9y^2}-3y` 得
\[2x+\sqrt {1+4x^2}=\sqrt {1+9y^2}-3y,\]以上两式相加得 `3y+2x=-2x-3y`。

TSC999

isee 和 kuing 的方法都很妙！ 收藏学习了！主楼原先的 $x^2$ 中少了个 4， 应是  $4x^2$，现在已更正。

战巡

回复 1# TSC999


这么像反双曲...
令$2x=\sinh(p),3y=\sinh(q)$，那么就有
\[原式=(\sinh(p)+\sqrt{1+\sinh^2(p)})(\sinh(q)+\sqrt{1+\sinh^2(q)})\]
\[=(\sinh(p)+\cosh(p))(\sinh(q)+\cosh(q))=e^{p+q}=1\]
\[p=-q\]
\[2x=-3y\]