集合$M$，若$x$，$y\in M$，则$xy\in M$．

isee

已知$M$是同时满足下列条件的集合：①$0\in M$，$1\in M$，②若$x$，$y\in M$，则$x-y\in M$；③若$x\in M$且$x\ne 0$，则$\frac 1x\in M$．
下列结论中正确的是__(1)(3)(4)___．
（1）$\frac 13\in M$；
（2）$-1\notin M$；
（3）若$x$，$y\in M$，则$x+y\in M$；
（4）若$x$，$y\in M$，则$xy\in M$．







（4）要写清晰了，还比较麻烦，大约思路是\[4xy=(x+y)^2-(x-y)^2.\]

战巡

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首先$x\in M, 1\in M$，就有$x+1\in M, x-1\in M, \frac{1}{x+1}\in M, \frac{1}{x-1}\in M$，然后
\[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{(x+1)(x-1)}\in M\]
\[\frac{(x+1)(x-1)}{2}=\frac{1}{2}-\frac{x^2}{2}\in M\]
由于$\frac{1}{2}\in M$是显然的，因此当$x\in M$时，会有$\frac{x^2}{2}\in M$

于是当$x,y\in M$时，会有$x+y\in M$，$\frac{(x+y)^2}{2}\in M$，同时又有$\frac{x^2}{2},\frac{y^2}{2}\in M$，故此$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}\in M$，那么当然就有
\[xy=\frac{(x+y)^2}{2}-[\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}]\in M\]

kuing

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looooong time no see