几何最小值问题

大佬最帅

如图，AC＝2，△OAC的外角平分线交于D，延长DA，DC分别交坐标轴于F，E 求S△DEF的最小值

kuing

瞬间想起前些天的这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=8156（但不知道有没有帮助……

kuing

回复 2# kuing

还是有帮助嘀……
由于懒得再画图，这里借用楼上链接里 4# 的图，就不按楼主的字母了，也就是下图 AB=2：

图中 `I` 为 `\triangle OAB` 内心，由条件知 `P` 为旁心，故 `I` 在 `OP` 上，易证 `\angle P=45\du`。
由图中所标的角关系得 `\triangle IAB\sim\triangle OCP\sim\triangle OPD`。
设 `OA=a`, `OB=b`，设 `\triangle OAB` 的内切圆半径为 `r`、旁切圆 `P` 的半径为 `r_P`，则
\begin{align*}
r&=\frac{a+b-2}2,\\
OP&=\sqrt2r_P=\frac{a+b+2}{\sqrt2},
\end{align*}由 `AB\cdot r=2\S{IAB}=\sin135\du\cdot IA\cdot IB` 得
\[IA\cdot IB=\sqrt2(a+b-2),\]由三角形相似得
\[\frac{PC}{AB}=\frac{OP}{IB},\frac{PD}{AB}=\frac{OP}{IA},\]故
\[\S{PCD}=\frac12\sin45\du\cdot PC\cdot PD=\frac1{2\sqrt2}\cdot\frac{OP^2\cdot AB^2}{IA\cdot IB}=\frac{(a+b+2)^2}{2(a+b-2)},\]显然 `a+b\in\bigl(2,2\sqrt2\bigr]`，此时上式关于 `a+b` 递减，故当 `a+b=2\sqrt2` 时最小，代入化简得最小值为 `5\sqrt2+7`。

isee

这个45度角放坐标系里，再配个等轴双曲线真是绝了，算得上是 FAQ 了，也