不等式证明

大佬最帅

如何证明此不等式

kuing

还蛮简单……
因为 `3abc(a+b+c)\leqslant(ab+bc+ca)^2`，所以
\begin{align*}
&(a+b+c)\left( \frac1a+\frac1b+\frac1c \right)-\frac{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{abc(a+b+c)}-4\\
={}&\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}-\frac{2(ab+bc+ca)^2}{abc(a+b+c)}\\
={}&\frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{abc(a+b+c)}\\
\geqslant{}&\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca},
\end{align*}即
\[(a+b+c)\left( \frac1a+\frac1b+\frac1c \right)\geqslant\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{abc(a+b+c)}+4,\]显然上式强于原不等式。

isee

回复 2# kuing


    又见第二行的常见不等式，哈哈哈哈哈哈，这过程仅用一次放缩，妙呢