两个最值

lemondian

已知$a,b,c$是非负实数，且$S=a+2b+3c,T=a+b^2+c^3$。
（1）求$T-S$的最小值；
（2）若$S=4$，求$T$的最大值。

kuing

（1）b^2+1>=2b，c^3+1+1>=3c；

kuing

（2）由 S=4 知 b<=2, c<=4/3<√3，故 b^2<=2b, c^3<=3c，所以 T<=S=4，当 a=4,b=c=0 或 b=2,a=c=0 取等。

真无趣…………

isee

回复 3# kuing


    这是最近全国高中数学联合竞赛初赛B1加试第一题，哈哈哈哈哈哈

kuing

回复 4# isee

纳尼？？？

isee

回复 5# kuing



试卷，自己看 gaokzx.com/c/202109/55976.html


摘

数学联赛：在每年9月中旬的第一个周日举行。目前联赛有一试、二试（加试）两场，同时还分为A卷和B卷。

联赛试题AB两套试卷主要是根据省份进行划分。浙江，江苏，河北，湖南，湖北，北京，上海，广东等绝大多数省份使用A卷；极少数偏远地区则使用B卷。B卷偏重对计算能力的考察，对思维方面的考察略低。由此可以看出北京赛区是使用A卷。

kuing

回复 6# isee

好吧

lemondian

修改一下：
问题（1）：已知$a,b,c$是非负实数，$a+2b+3c=4.$求$a+b^2+c^3$的最值。

能不能推广一下呢？
问题（2）：已知$a_k\geqslant 0(k=1,2,\cdots ,n),\sum_{k=1}^nka_k=m$.求$\sum_{k=1}^na_k^k$的最值。

kuing

显然乱改是没得玩嘀

lemondian

回复 9# kuing

我在网上看到的，但不会求

lemondian

回复 8# lemondian

问题（2）我是从这个题改的，不知能否推广（或在某些情况下推广）？
已知$a,b,c$是非负实数，$a+b^2+c^3=9.$求$a+2b+3c$的最值。

kuing

我在网上看到的，但不会求
lemondian 发表于 2021-10-15 16:41

这个下界也没什么难度啊，消 a 变成：
b,c>=0, 2b+3c<=4，求 f(b,c)=4-2b-3c+b^2+c^3 最小。
求导知 f(b,c) 的极值点是 (1,±1)，都不在可行域内，所以最小值一定在边界上。
于是只要分别求出 f(0,c), f(b,0), f((4-3c)/2,c) 的最小值即可。
易知前两个的分别为 2 和 3，第三个变成 (4-3c)^2/4+c^3 求导知 `c=(\sqrt{41}-3)/4` 时取最小值，结果就是图上那个，它比 2 小，所以最小值就是它。

kuing

回复  lemondian

问题（2）我是从这个题改的，不知能否推广（或在某些情况下推广）？
已知$a,b,c$是非负实数，$a+b^2+c^3=9.$求$a+2b+3c$的最值。
lemondian 发表于 2021-10-15 16:46

最大值：$a+2b+3c\le a+b^2+1+c^3+1+1=12$，当 $a=7$, $b=c=1$ 取等；

最小值：
若 $c>2$，则 $a+2b+3c>6$；
若 $\sqrt3<c\le2$，则 $b<2$（否则 $b^2+c^3>4+3\sqrt3>9$），故
\[a+2b+3c>a+b^2+\frac34c^3>\frac34(a+b^2+c^3)=\frac{27}4>6;\]若 $c\le\sqrt3$，则 $3c\ge c^3$，显然 $b\le3$，故
\[a+2b+3c\ge a+2b+c^3=9-b^2+2b=10-(b-1)^2\ge6,\]当 $a=c=0$, $b=3$ 时取等。
综上，最小值为 6。

推广啥的你自己搞吧，我感觉没什么意思。

lemondian

回复 12# kuing
这个看不懂哩

kuing

那就没办法了

lemondian

回复 12# kuing

终于来一个可以看得懂一些的了，
但好象还是有问题呀（图中红色部分处）
应该是$f(b,1)=1+(b-1)^2$
另外，当$c=1$时，由$a+2b+3c=4$，可得$a+2b=1$，此时$b\in[0,1/2]$，所以$f(b,1)$的最小值应该是$5/4$呀。
@kuing

lemondian

回复 16# lemondian

沉了。。。

lemondian

回复 13# kuing
这个不对吧？
当$c\leqslant 2$时，则$3c\geqslant c^3$

kuing

回复 18# lemondian

嗯，我傻了。
有空再修改……
改好了。
又分多了一类，不好看了……

lemondian

回复 11# lemondian
问题（3）：已知$a_k\geqslant 0(k=1,2,\cdots ,n，2\leqslant n\leqslant 9) ,\sum_{k=1}^na_k^k=9$.求证：$6\leqslant \sum_{k=1}^nka_k\leqslant 9+\dfrac{n(n-1)}{2}$。

问题（4）：已知$a_k\geqslant 0(k=1,2,\cdots ,n，) ,\sum_{k=1}^na_k^k=t,t\inN^*,且t\geqslant n$.求证：$\sum_{k=1}^nka_k\leqslant t+\dfrac{n(n-1)}{2}$。

问题（5）：在问题（4）中，$\sum_{k=1}^nka_k$是否有最小值？