若 `x,y\in\mathbb R_+,` 则 `\frac {xy+y}{x^2+y^2+1}` 的最大值为

isee

题：若 `x,y\in\mathbb R_+,` 则 `\frac {xy+y}{x^2+y^2+1}` 的最大值为______.

注意 `\frac {xy+y}{x^2+y^2+1}=\frac {xy+y\cdot1}{x^2+y^2+1^2}=\frac {xy+y\color{red}z}{x^2+y^2+\color{red}{z^2}},\color{red}{z=1}` 这样一来就反而易理解了——即是点评中的链接(题).



（均值不等式）方向0，将分母缩小（由和转化为积)

`x^2+y^2+1=\left(x^2+\frac {y^2}2\right)+\left(\frac {y^2}2+1\right)\geqslant\sqrt 2xy+\sqrt 2y=\sqrt{2}(xy+y),` 即 `\frac {xy+y}{x^2+y^2+1}\leqslant \frac {\sqrt 2}2.` 取“=”时， `x=\frac y{\sqrt 2}=1` .

(怎么凑出这两均值的呢，其实可以待定系数`x^2+y^2+1=(x^2+\color{blue}m y^2)+\color{blue}{(1-m)}y^2+1\geqslant2\color{blue}{\sqrt m} xy+2\color{blue}{\sqrt {1-m}}y,` 令 `\sqrt m=\sqrt {1-m}` ）



（均值不等式）方向0.5，将分子放大（由积化为和)

\begin{align*} xy+1&=\frac {\sqrt 2}2\left({2\cdot x\cdot \frac y{\sqrt 2}+2\cdot y\cdot \frac 1{\sqrt 2}}\right)\\ &\leqslant \frac {\sqrt 2}2 \left(\left(x^2+ \frac {y^2}2\right)+\left(\frac {y^2}2+1\right)\right)\\ &=\frac {\sqrt 2}2(x^2+y^2+1), \end{align*}

即 `\frac {xy+y}{x^2+y^2+1}\leqslant\frac {\sqrt 2}2.`



(齐次式消元)方向1，令 `x=my,1=ny,` 则

\[\frac {xy+y\cdot1}{x^2+y^2+1^2}=\frac {m+n}{m^2+1+n^2}=\frac {1}{\frac {m^2+n^2+1}{m+n}}\leqslant \frac {1}{\frac {\left((m+n)/2\right)^2+1}{m+n}}\leqslant \frac 1{\sqrt 2}.\]



(均值不等式变式)方向2 ：主要是写着写着方向1中的第一个不等号是 `Q_2\geqslant A_2`的等价形式，那就试试均值不等变式： `a^2+b^2\geqslant 2ab\iff 2(a^2+b^2)\geqslant (a+b)^2.`
于是有\[(xy+y)^2=y^2\color{blue}{(x+1)^2}\leqslant y^2\cdot \color{blue}{2(x^2+1)}=2\cdot (x^2+1)y^2\leqslant 2\left(\frac{x^2+1+y^2}2\right)^2,\]
即 `\frac {xy+y}{x^2+y^2+1}\leqslant\frac {\sqrt 2}2.`





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以下是凑数的，（不推荐，否则，一概不负责任）

(对称式)方向3，式子 `\frac {xy+y\cdot 1}{x^2+y^2+1}` 是关于 `x,1` 的对称式，(即 `x` 换成 `1,` `1` 换成 `x` 求式值不变)，从而当求式最大时，必有 `x=1,` 于是求式化为 `\frac {2y}{y^2+2}=\frac 2{y+\frac 2y}\leqslant \frac {\sqrt 2}2.`

(主元)方向 `\pi` ：令 `t=\frac {xy+y}{x^2+y^2+1}` 整理为关于 `y` 的二次式子 `ty^2-(x+1)y+tx^2+t=0,` 于是 `\exists x`（这个存在，就是凑数的，哈哈哈哈哈）， 使得 `\Delta=(x+1)^2-4t(tx^2+t)\geqslant 0\Rightarrow 4t^2\leqslant \left(\frac {(x+1)^2}{x^2+1}\right)_{\max}=2.`

(作差配方)方向5：猜测出最大值时， `\frac {xy+y}{x^2+y^2+1}-\frac {\sqrt 2}2` 之后通分配方即可（因为所有的均值不等式均可以改写成平方形式，（想想均值不等式的最基本证明即明）），具体略.

isee

回复 1# isee

不等式入门咯，这应该是高考天津卷的题目，哪年就没查了

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知乎原问题

推广著名的Fan’s不等式的特殊情况

kuing

《数学空间》2011 年第 4 期 P.13

isee

回复 3# kuing


果然~~~~~~~~~~

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翻阅了，想起来了~

isee

再补一个

(柯西不等式)方向e ：其实就是先猜取等条件再证——注：20211022补充方向e.

\begin{align*} \frac{xy+y}{x^2+y^2+1}&=\frac 4{\sqrt 2}\cdot \frac{(x+1)\cdot \sqrt 2y}{(1+1+2)(x^2+1+y^2)}\\ &\leqslant \frac 4{\sqrt 2}\cdot \frac{\left(\frac{x+1+\sqrt 2y}2\right)^2}{(x+1+\sqrt 2y)^2}\\ &=\frac {\sqrt 2}2, \end{align*}

取“=”时， $x=\frac y{\sqrt 2}=1$ .

SergeyHe

可以考虑使用嵌入不等式，将x,y,z=1看成三角形的三边长