求三角函数中的角速度$\omega$

isee

源自 刘币老师@B站

题：（2012同济自招）设函数 $f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$，其中 $\omega > 0,\varphi\in \mathbb R$，若存在常数 $T<0$，使对任意 $x\in \mathbb R$ 有$ f(x+T)=Tf(x-1)$，则 $\omega$ 可取到值为(     )

B. $\pi$

isee

由三角函数的有界性，及 $f(x+T)=Tf(x-1)\leqslant \abs{T}$，容易知道 $\abs{T}=1$，即 $T=-1$，进一步
\begin{align*}
f(x)+f(x-1)&=0\\
\sin(\omega x+\varphi)+\sin(\omega x+\varphi-\omega)&=0\\
2\sin\left(\omega x+\varphi-\frac {\omega} 2\right)\cos\frac {\omega} 2&=0\\
\therefore  \ \  \color{blue}{\omega}&\color{blue}{=k_1\pi,\ \ k_1\in\mathbb Z_+}
\end{align*}
另一方面由 $f(x)=-f(x-1)$熟知 $f(x)$ 的周期为 $$\color{blue}{2k_2=\frac {2\pi}{\omega},\ \ k_2\in\mathbb Z_+},$$
从而当且仅当$k_1=k_2=1$，$\omega=\pi$.



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昨天测试油猴，把 ABP 关了，于是 草稿本 出现了，PC下就是极轻量的 代码实时预览 工具，如下图，相当赞啊，坛友们，来这里不带点 公式代码走，亏大必发啊~~

kuing

回复 2# isee

ABP 不是可以设白名单的吗

isee

回复 3# kuing


哈哈哈哈哈，懒，只要不影响主体都不动（默认值）