直三棱柱的截面积

isee

就是给 @乌贼 定制的  

来自 知乎提问 虽已有综合法与坐标法，也还亲自可以写写



题：直三棱柱 `ABC-A_1B_1C_1` 中，若 `BC=2AB=2`，`AA_1=AC=\sqrt 3`，`M` 是 `B_1C_1` 中点，过 `AM` 作这个三棱柱的截面，当截面与平面 `ABC` 所成二面角最小时，这个截面的面积为(     )

B. `\frac {5\sqrt 3}6`

乌贼

延长$ A_1B_1 $至$ D $，使$ A_1B_1=B_1D $，延长$ DM $交$ A_1C_1 $于$ E $，$ N $为$ BB_1 $与$ AD $交点。则截面$ AEMN $与平面$ ABC $所成的二面角最小且$ AM\perp DE $。有\[ S_{AEMN}=\dfrac{1}{2}AM\cdot ME+\dfrac{1}{4}AM\cdot DM=\dfrac{5\sqrt{3}}{6} \]

isee

回复 2# 乌贼


而恰巧就是何时最小是难想的，还需补充下理由：$AM$（或 $A_1M$) 是到$ME$距离最大值

乌贼

回复 3# isee
这有什么难想的，设$ l $为在平面$ ABC $内过$ A $的直线，直线$ l $与$ AM $组成的平面与平面$ ABC $的二面角为$ \theta  $，就有当点$ M_1 $到直线$ l $的距离最大时$ \theta  $最小，也就是当$ A_1B_1=B_1D,DM\perp A_1M $时。平面有了，再画出截面。

isee

回复 4# 乌贼


所以此题仿佛就是为你定制的，我当时还是有空间向量算好一会~