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yao4015
Posted at 2022-6-17 11:04:49
"结式方法" 更准确的叫法是“逐次结式方法”，因为要做多次结式。
“逐次结式方法” 是杨路研究员在上世纪 90 年代提出来的，是不等式自动证明软件Bottema 的基本算法之一。核心思想是对多项式 $f$ 和 $f'$ 作结式消去一个变量, 然后重复这一过程，直到消去所有自由变量，获得只含有参数变量的多项式, 它就是参数所要满足的方程(最值的必要条件)。
举个简单的例子如下：令 $f=x^4+y^6+1-tx^3y$ , $x,y$ 是非负实数。求最大的 $t$ 使不等式 $f\geq 0$ 恒成立。
1 对 $f, f'_x$ 作结式消去 $x$.
$\ \ \ res(f, f'_x, x)=(y^6+1)^2(-27t^4y^4+256y^6+256)$
2. 令 (去除重因子)
$\ \ \ g=(y^6+1)(-27t^4y^4+256y^6+256)$
3 对 $g, g'_y$ 作结式消去 $y$.
$\ \ \ res(g, g'_y, y)=t^{48}(27t^6-2048)^2(27t^6+2048)^2$.
如果满足要求的 $t$ 存在，则 $t$ 必须要满足方程
$t(27t^6-2048)(27t^6+2048)=0$.
明显地，$t$ 不可能是 $0$ 或负数，所以 $t$ 只可能是 $27t^6-2048$ 的正实根。
当然，对大多数例子，你只能依靠计算机，手算几乎是不可能的。 |
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kuing
Posted at 2021-10-22 13:06:51
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