记证$\frac 1{1+a^2}+\frac 1{1+b^2}+\frac 1{1+c^2}\leq \cdots$

isee

(来源于知乎提问)题：非负实数 $a,b,c $ 满足 $ a+b+c=1,$  求证： $\frac 1{1+a^2}+\frac 1{1+b^2}+\frac 1{1+c^2}\leqslant \frac {27}{10}.$



在印象中，处理这类问题可以用切线法，好像叫切线支撑？ 硬生生硬写了一回.




首先注意到 $a=b=c=\frac 13$ 等号成立，于是猜测函数 $f(x)=\frac 1{1+x^2},x\leqslant 1$ 的图象是在 $x=\frac 13$ 处的切线的下方的.

而 $f'(x)=-\frac {2x}{(1+x^2)^2},$ 易求得的 $x=\frac 13$ 处的切线方程为 $y=-\frac {27}{50}\left(x-\frac 13\right)+\frac 9{10}.$

考察

\begin{align*}
\frac 1{1+x^2}+\frac {27}{50}\left(x-\frac 13\right)-\frac 9{10}&=\frac{50+(27x-9)(1+x^2)-45(1+x^2)}{50(1+x^2)}\\[1em]
&=\frac{27x^3-54x^2+27x-4}{50(1+x^2)}\\[1em]
&=\frac{27x^3-36x^2-(18x^2-27x+4)}{50(1+x^2)}\\[1em]
&=\frac{9x^2(3x-4)-(3x-4)(6x-1)}{50(1+x^2)}\\[1em]
&=\frac{(3x-4)(9x^2-6x+1)}{50(1+x^2)}\\[1em] &=\frac{(3x-4)(3x-1)^2}{50(1+x^2)}\\[1em]
&\leqslant 0. \end{align*}

即 $\frac 1{1+x^2}\leqslant -\frac {27}{50}\left(x-\frac 13\right)+\frac 9{10}$ 成立，从而有

\begin{align*} \frac 1{1+a^2}+\frac 1{1+b^2}+\frac 1{1+c^2}
&\leqslant -\frac {27}{50}\left(a-\frac 13\right)+\frac 9{10}-\frac {27}{50}\left(a-\frac 13\right)+\frac 9{10}-\frac {27}{50}\left(a-\frac 13\right)+\frac 9{10}\\[1em]
&=-\frac{27}{50}\left(a+b+c-1\right)+\frac {27}{10}\\[1em] &=\frac {27}{10}.
\end{align*}

得证.



仿上，有，对非负实数满足 $\sum_{k=1}^n a_k=1,$ 则 $$\sum_{k = 1}^{n}\frac 1{1+a_k^2}\leqslant \frac{n^3}{n^2+1}.$$

lemondian

回复 1# isee
可用二阶导数，判断$f(x)$为上凸函数，故切线在函数图象的上方吧

kuing

回复 2# lemondian

二阶导数为 `\dfrac{2(3a^2-1)}{(1+a^2)^3}`，不保凸

lemondian

回复 3# kuing
嗯，对的

kuing

系数变一下，恐怕就难了：相同条件下，证
\[\frac1{7+18a^2}+\frac1{7+18b^2}+\frac1{7+18c^2}\leqslant\frac13.\]（双取等）

isee

回复 5# kuing

感觉原不等式的难度已经到我的极限了，，，，，你这个先搁搁，，，



而且我发现题主是一题多问，发现个评论中一个链接：
artofproblemsolving.com/community/c6h556760p3235889

我其实是5#，（人家一行，我想了好久）

正在消化3#中……

isee

循环和符号至今都没习惯…sigh~

isee

回复 6# isee


Jensen 不等式：((((((总是选择性遗忘，哎~~~~~~~~~~
若 $f$ 为 $[a,b]$ 上的下凸函数，则对任意 $x_i\in[a,b],$$\lambda_i>0\ (i=1,2,\cdots,n),$ $\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ 有 $$f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right)\leqslant \sum_{i=1}^n\lambda_i f(x_i).$$ 当且仅当 $x_1=x_2=\cdots =x_n$ 时取等号.

若 $f$ 为上凸函数，则不等式反向.



所证式为对称式，不妨设 $a\leqslant b\leqslant c,$ 由 $a+b+c=1$ 知 $c\geqslant \frac 13,$ $a+b\leqslant \frac 23,$ $a\leqslant \frac 13.$


还有$b<\frac {\sqrt{3}}3$ 也是成立的,见 11# kuing 的提点~及（12#反证）



而 $f''(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3},$ 当 $x \in \left[0,\frac 1{\sqrt 3}\right],$ $f''(x)\leqslant 0$ 即 $f(x)$ 为为上凸函数，则由琴生不等式

\begin{align*} \color{red}{f(a)+f(b)}+f(c)&\color{red}{\leqslant} \color{red}{2f\left(\frac {a+b}2\right)}+f(c)\\[1em] \frac 1{1+a^2}+\frac 1{1+b^2}+\frac 1{1+c^2} &\leqslant \frac 2{1+\bigg((a+b)/2\bigg)^2}+\frac 1{1+c^2}\\[1em] &=\frac 2{1+\bigg((1-c)/2\bigg)^2}+\frac 1{1+c^2}\\[1em]\leqslant \frac {27}{10}, \end{align*}



注意 $f(c)$ 是递减的：

$$f(c)=\frac 2{1+\bigg((1-c)/2\bigg)^2}+\frac 1{1+c^2},c\in \left[\frac 13,1\right].$$

怎么判断的呢，最开始是先发现有对称轴 $c=\frac 13$ ，再硬求导的，但求导出错啦，哈哈哈哈哈.

后来是用 Geogebra 软件检验的，这数据实在是巧了.

isee

当然，在探究此式的过程中，发现$$\frac 1{1+a^2}+\frac 1{1+b^2}\leqslant \frac 1{1+ab}.$$
此题里放过了，琴生不等式恰好补了进来~

isee

系数变一下，恐怕就难了：相同条件下，证
\[\frac1{7+18a^2}+\frac1{7+18b^2}+\frac1{7+18c^2}\leqslant\fr ...
kuing 发表于 2021-11-2 10:04

用GGB画了图，主楼中的 琴生不等式也适用此题 。。。。。待定~~~~

至于你的提示,先放一放~~


=====
知乎提问好处是被"炒"起来了,实实在在的复习了一次"循环和","Jensen"

kuing

回复 8# isee

上凸区间是 [0,1/\sqrt3]，而且也需要交待 b 也在这区间内（虽然很显然）

isee

回复 11# kuing

对对对 哈哈哈 不然超过和 1 了

kuing

用GGB画了图，主楼中的 琴生不等式也适用此题
isee 发表于 2021-11-2 22:20

真的适用？我改后上凸区间很小呢

kuing

回复 8# isee

PS、第二个 \color{red}{...} 里的 \leqslant 前建议加一个 {}
再次 PS、是改成 {}\leqslant 不是 {\leqslant}

isee

回复 13# kuing

看我刚才忽视了b的范围就知道，考虑不全~

=============


还说这个不等式简单，晕了晕了，都是坑~~

isee

回复 14# kuing

给个弹性空间？-------------------明白了，我关注内容多少格式，哈哈，不等号直接丢颜色代码里会让把两边空间吃掉~~

我把小于等于不标颜色罢了

yao4015

回复 5# kuing

试做了下 5# 的题，用的标准的混合变量法.
  设 $a=max\{a,b,c\}, \  s=\dfrac{b+c}{2}$. 于是 $s\leq \dfrac{1}{3},\  bc\leq \dfrac{1}{9}$.
进一步，令
\[
f(a,b,c)=\dfrac{1}{7+18a^2}+\dfrac{1}{7+18b^2}+\dfrac{1}{7+18c^2}.
\]
我们计划去证明
\[
f(a,b,c)\leq f(a,s,s)\leq \dfrac{1}{3}.
\]
计算
\begin{align*}
f(a,s,s)-f(a,b,c)&=\left(\dfrac{1}{7+18s^2}-\dfrac{1}{7+18b^2} \right)+\left(\dfrac{1}{7+18s^2}-\dfrac{1}{7+18c^2} \right)\\
&=\dfrac{1}{2(7+18s^2)}\left (\dfrac{9(3b+c)(b-c)}{7+18b^2} + \dfrac{9(b+3c)(c-b)}{7+18c^2} \right)\\
&=\dfrac{9(b-c)^2(7-18bc-36s^2)}{(7+18s^2)(7+18b^2)(7+18c^2)}
\end{align*}
因为 $bc\leq \dfrac{1}{9},\  s^2\leq \dfrac{1}{9}$, 我们有
\[
7-18bc-36s^2\geq 7-\dfrac{18}{9}-\dfrac{36}{9}=1>0,
\]
所以 $f(a,b,c)\leq f(a,s,s)$.
另一方面
\[
\dfrac{1}{3}-f(1-2s,s,s)=\dfrac{4(1-6s)^2(1-3s)^2}{3(7+18(1-2s)^2)(7+s^2)}\geq 0.
\]
等号仅当 $(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right)$ 或 $\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6}\right)$的置换时取到.

isee

回复 17# yao4015


么么，这一看就是我不会的样子

yao4015

回复 18# isee

混合变量法英文叫 “mixing variables method”，其实就是调整法而已.
也没什么技术含量，就是耐心的计算。

kuing

回复 1# isee

又有啦：zhihu.com/question/497088048