一道判断三角形形状的困惑

lemondian

题目如下：

我试做了一下，觉得是直角三角形。
查了某APP，竞然有两种不同的答案：一种是等腰三角形或直角三角形，一种是等腰直角三角形.
所以上来问问

kuing

\[\frac a{b+c}=\frac{\sin A}{\sin B+\sin C}=\frac{2\sin\frac A2\cos\frac A2}{2\sin\frac{B+C}2\cos\frac{B-C}2}=\frac{\sin\frac A2}{\cos\frac{B-C}2},\]所以条件化为
\[\tan\frac A2=\frac{\sin\frac A2}{\cos\frac{B-C}2}\iff\cos\frac A2=\cos\frac{B-C}2\iff A=\abs{B-C},\]同理 `B=\abs{C-A}`，如果 `A=B-C`，则 `B=A+C>\abs{C-A}`，矛盾，所以 `A=C-B`，即 `C` 为直角。

lemondian

回复 2# kuing
我的做法与你的差不多（稍长一点），结果也一样

以下两个做法错在哪？

isee

回复 2# kuing


我估计柠檬点是认你这个化角的用到了和差化积是柠檬点不想要的，哈哈

isee

回复 1# lemondian


题：三角形中满足 $\tan \dfrac A2=\dfrac a{b+c}$，$\tan \dfrac B2=\dfrac b{c+a}$，判断三角形的形状.

解：
\begin{gathered}
\left\{\begin{aligned} \frac{\sin A}{1+\cos A}=\tan \frac A2&=\frac a{b+c}=\frac {\sin A}{\sin B+\sin C},\\[1em]
\frac{\sin B}{1+\cos B}=\tan \frac B2&=\frac b{c+a}=\frac {\sin B}{\sin C+\sin A},\end{aligned}\right.\\[1em]
\left\{\begin{aligned} 1+\cos A=\sin B+\sin C,\\[1em]
1+\cos B=\sin C+\sin A,\end{aligned}\right.\\[1em]
\Rightarrow \ 2(1-\sin C)^2=2-2\sin(A+B)=2-2\sin C\\[1em]
\Rightarrow \ \sin C=1,\ (\sin C=0)
\end{gathered}
所以三角形是直角三角形.



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原回复内容，如果三角形是直角三角形，则只能是：
\[\tan \frac C2=\frac 1{\tan\left(\frac A2+\frac B2\right)}=\frac {1-\frac a{b+c}\cdot\frac b{c+a}}{\frac a{b+c}+\frac b{c+a}}=1\iff a^2+b^2=c^2,\]
自洽.

kuing

回复 3# lemondian

只看了第一个，推理的过程没有错，只是还没推完。
这就类似于用不等式组相加来求范围有可能导致结果扩大，现在这也是一种扩大。

因为 `r=\dfrac Sp=\dfrac{\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}}{\sqrt p}`，当 `a=b` 时，化为 `r=\dfrac{(p-a)\sqrt{p-c}}{\sqrt p}`，即 `\dfrac r{p-a}=\dfrac{\sqrt{2a-c}}{\sqrt{2a+c}}`，代回式①中平方化简得 `c^2=2a^2`，所以它依然是直角三角形。

第二个就不想看了。

isee

3＃第二个是另一题，第二个正切分母它用的 b＋c

lemondian

回复 7# isee
我再相了一下，题目还是一样，只是APP的解答写错了
这年头，用这些个APP查答案，会害人的哦

isee

回复 8# lemondian


哈哈哈，还是那句话，次数高了肯定有计算量~