三角恒等式求证四个角相等

isee

源自知乎提问但链接找不到了，题却在稿纸上，刚刚见了

若 $A,B,C,D$ 均为锐角且满足\[\frac{\cos(B-A)}{\sin A}=\frac{\cos(C-B)}{\sin B}=\frac{\cos(D-C)}{\sin C}=\frac{\cos(A-D)}{\sin D},\]
证明: $A=B=C=D.$

kuing

由条件得
\begin{align*}
\frac{\cos(B-A)}{\sin A}\leqslant\frac1{\sin B}&\iff\frac{\cos A\cos B+\sin A\sin B}{\sin A}\leqslant\frac1{\sin B}\\
&\iff\cot A\cos B+\sin B\leqslant\frac1{\sin B}\\
&\iff\cot A\cos B\leqslant\frac{\cos^2B}{\sin B}\\
&\iff\cot A\leqslant\cot B,
\end{align*}同理 `\cot B\leqslant\cot C\leqslant\cot D\leqslant\cot A`，从而只能全相等。

isee

由条件得
\begin{align*}
\frac{\cos(B-A)}{\sin A}\leqslant\frac1{\sin B}&\iff\frac{\cos A\cos B+\sin  ...
kuing 发表于 2021-11-4 18:53

不等式方向，学习了学习了~

kuing

不等式方向，学习了学习了~
isee 发表于 2021-11-4 19:00

其实是后来才转向不等式，一开始时我是设连等式 = k，试图建立 A = f(B) 等关系，再去证明迭代后只有一个解。
但是实际操作后发现这个 f 太复杂：由 `\cos (B-A)=k\sin A` 展开解出 `\tan A=\frac 1{k\sqrt {1+\tan ^2B}-\tan B}`，不好处理，于是才考虑放缩，试图证明右边恒 >= tanB 或反向，整理后发现需要比较 k 与 1/sinB，而这不就正好是将原等式的分子放为 1 嘛？于是 2# 的证明就出来了。