函数极限

guanmo1

求函数极限 $\lim _{x \to+\infty} \frac{(x+\sin x)^2}{e^{2 x}}$

色k

显然为0

guanmo1

也觉得是零，过程呢？洛必达吗？

guanmo1

回复 2# 色k


    问题是高中有洛必达吗？当然，直观看，显然是0。

色k

放缩一下也显然

guanmo1

回复 5# 色k


   

kuing

`x>0` 时 `\sin x<x` 以及 `e^x>1+x+\frac 12x^2>x+\frac 12x^2`，所以 `\left( \frac {x+\sin x}{e^x} \right)^2<\left( \frac 4{2+x} \right)^2`。

IkeJay

这样可以吗\begin{aligned}
& \lim _{x \to+\infty} \frac{(x+\sin x)^2}{e^{2 x}} \\
& \text { 当 } x \to+\infty, x+\sin x \sim x \\
& \therefore \text { 原 }=\lim _{x \to+\infty} \frac{x^2}{\rho^{2 x}}=\lim _{x \to+\infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}=\lim _{x \to+\infty} \frac{2}{4 \rho^{2 x}}=0
\end{aligned}

isee

回复 8# IkeJay

我觉得可以，只是无穷大的代换很少见——虽然可以转换成无穷小.


分成$$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x}{\mathrm e^x}+\frac{\sin x}{\mathrm  e^x}\right)\cdot \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x}{\mathrm  e^x}+\frac{\sin x}{\mathrm  e^x}\right),$$就是显然的了

IkeJay

回复 9# isee


    确实啊