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源自知乎提问
法1-----------------------------------------------------------------------------------
比较直接的就是利用初中的黄金三角形了.
顶角为 $36^\circ$ 的等腰三角形称黄金三角形，其腰与底的比为黄金比 $\varPhi=\frac {\sqrt 5-1}2,$ 于是 $\sin 18^\circ=\frac 12\varPhi=\frac {\sqrt 5-1}4.$
法2-----------------------------------------------------------------------------------
另外完全用三角函数的倍角公式亦可
$\cos 18^\circ=\sin 72^\circ=2\sin 36^\circ\cos 36^\circ=4\sin 18^\circ\cos 18^\circ(1-2\sin^2 18^\circ),$
即 $8\sin^3 18^\circ-4\sin 18^\circ+1=0,$ 注意关于 $\sin 18^\circ$ 的方程有增根 $\frac 12,$ 然后分解因式即解.
这个更有高中味道，需要分解高次因式.
法3-----------------------------------------------------------------------------------
高中新教材将复数的三角形式作了较详细补充，选习内容.
考虑复数 $$z=\cos \frac{2\pi}5+\mathrm i \sin \frac{2\pi}5,$$ 则 $$z+z^{-1}=z+\bar{z}=2\cos \frac {2\pi}5>0.$$
又 $z^5=1,$ 进一步知 $$z^4=\frac 1z=z^{-1},\ z^3=z^{-2},$$
又有$$z^5=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=1,$$
所以$$z^4+z^3+z^2+z+1=0,$$
即\begin{align*} z^{-1}+z^{-2}+z^2+z+1&=0,\\[1em] \color{blue}{(z+z^{-1})^2+(z+z^{-1})-1}&\color{blue}{=0},\\[1em] \therefore \ \ z+\bar{z}=\frac {\sqrt 5-1}2 \end{align*}
即$$2\cos \frac{2\pi} 5=\frac {\sqrt 5-1}2 \iff \sin 18^\circ=\frac {\sqrt 5-1}4.$$ |
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