一眼看尽四元不等式$\frac 1{abc}+\frac 1d$的最小值

isee

正实数 $a,b,c,d$ 满足 $a+b=1$，$c+d=1$，则 $\dfrac 1{abc}+\dfrac 1d$ 的最小值为__9__.

isee

看着字母较多，事实上 $a,b$ 与 $c,d$ 不相往来$$\frac 1{abc}+\frac 1d\geqslant \frac 1{\left(\frac {a+b}2\right)^2c}+\frac 1d=\frac 4c+\frac 1d\geqslant \frac {(2+1)^2}{c+d}=9.$$

PS：如果将条件改为 $a+b+c+d=1$ 不知是否还有最小值.

kuing

PS：如果将条件改为 $a+b+c+d=1$ 不知是否还有最小值.
isee 发表于 2021-11-11 14:48

有的，照样操作即可
\[\frac 1{abc}+\frac 1d\geqslant \frac 1{\left(\frac {a+b}2\right)^2c}+\frac 1d=\frac{\left(\frac2{a+b}\right)^2}c+\frac 1d\geqslant \frac {\left(\frac2{a+b}+1\right)^2}{c+d}=\frac{(2+t)^2}{(1-t) t^2},\]其中 `t=a+b\in(0,1)`，然后求这个函数的最小值，是可求的。

isee

回复 3# kuing


是哦，奇妙相往来了～