数形结合求根式和的最值

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$x,y$是实数，求$\sqrt{x^2-2x+2}+\sqrt{y^2-4y+5}+\sqrt{x^2+y^2}$的最小值。感觉应该是转化为三个线段的和，再利用几何意义，但不知道为什么转化不出来，求教。

kuing

不需要几何意义吧
\begin{align*}
&=\sqrt {(1-x)^2+1^2}+\sqrt {1^2+(2-y)^2}+\sqrt {x^2+y^2}\\
&\geqslant \sqrt {(1-x+1+x)^2+(1+2-y+y)^2}\\
&=\sqrt {13}
\end{align*}不就行了吗

isee

回复 2# kuing

当时半分钟内应也是这个，但是没看到取等直接就闪了~

kuing

回复 3# isee

多想一步就不用闪了，取等需要三个向量共线，就是两个等式，而变量也是两个，大概率有解，可以放心上

isee

源自知乎提问，另一个（文末的练习）

三角形不等式的解析形式 的取等条件，也有叫柯西不等式的三角形式


题：求 $ f(x)=\sqrt {2x^2-10x+17}+\sqrt {2x^2-2x+41},\ 0<x<4 $ 的最小值.



平面内不同三点$ A_1(x_1,y_1),\ A_2(x_2,y_2),\ A_3(x_3,y_3),\ $ 则有三角不等式 $A_1A_2+A_2A_3\geqslant A_1A_3,$ 当且仅当 $A_2$ 落在 $A_1A_3$ 上时，取等号.
换成坐标，即有三角不等式的解析形式
$$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}+\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_1)^2}\geqslant \sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2},$$
取等号“=”时， $$\overrightarrow {A_1A_2}=\lambda\overrightarrow {A_1A_3}, \ \lambda\in (0,1), $$ 即 $$\frac {x_1-x_2}{x_1-x_3}=\frac {y_1-y_2}{y_1-y_3}=\lambda\in (0,1). $$
若记 $$x_1-x_2=a_1,\ \color{purple}{y_1-y_2=a_2},\ x_3-x_2=b_1,\ \color{purple}{y_3-y_2=b_2},$$
则 $$x_1-x_3=a_1-b_1,\ \color{purple}{ y_1-y_3=a_2-b_2},$$ 则三角不等式解析形式可写成

$$\color{blue}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2},}$$
取等号“=”时，当且仅当
$$\frac {a_1}{a_1-b_1}=\frac {a_2}{a_2-b_2}=\lambda\in (0,1)\iff \color{blue}{\frac {a_1}{b_1}=\frac {a_2}{b_2}=\frac {\lambda}{\lambda -1}<0}.$$
(注意此式不具有明显的几何意义：向量 (a_1,a_2) 与向量 (b_1,b_2) 同向共线.)
(其次，可类似于柯西不等式记忆.）

下面来看本题，先配方
\begin{align*} f(x)&=\sqrt {2x^2-10x+17}+\sqrt {2x^2-2x+41},\ 0<x<4\\[1em] \frac {f(x)}{\sqrt 2}&=\sqrt {x^2-5x+\frac {17}2}+\sqrt {x^2-x+\frac {41}2}\\[1em] &=\sqrt {\left(x-\frac 52\right)^2+\frac {9}4}+\sqrt {\left(x-\frac 12\right)^2+\frac {81}4}\\[1em] &\geqslant\sqrt {\left(x-\frac 52-\left(x-\frac 12\right)\right)^2+\left(\frac 32+\frac 92\right)^2}\\[1em] &=\sqrt {4+36}\\[1em]  &=2\sqrt{10}\\ \Rightarrow\ \  &f(x)_{\min}=4\sqrt 5.\end{align*}
取“=”号，即有 $$\frac {x-\frac 52}{x-\frac 12}=\frac {\frac 32}{-\frac 92}<0$$ 解得 $x=2,$  （且验证 $f(2)=\sqrt {8-20+17}+\sqrt {8-4+41}=4\sqrt 5$ 可取到，）于是最小值 $4\sqrt 5 $ 成立.

后话：

仿上，可知
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant \sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2},$$
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant \sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2-b_2)^2},$$
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2+b_2)^2},$$

类似这些不等式均是成立的，但是注意要代回原式验证最后等号是否成立.
另外，此多可以推广到多元——此帖里的如主楼.
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2}\geqslant \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\cdots +(a_n-b_n)^2}.$$
取" = "时，向量 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 与向量 $(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 同向共线.








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练习题：求 $\sqrt {x^2+8}+\sqrt {(x-1)^2+4}$ 的最小值.































































被你看到解了：

\begin{align*} \sqrt {x^2+8}+\sqrt {(x-1)^2+4}&\geqslant \sqrt {(x-(x-1))^2+(2\sqrt 2+2)^2}\\[1em] &=\sqrt {13+8\sqrt 2}, \end{align*}

当且仅当 $$\frac x{x-1}=\frac {2\sqrt 2}{-2}<0,$$ 即 $x=2-\sqrt 2$ 时取“ $=$ ”号.






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必须多说一下，以上的过程与柯西不等式是不挂钩的，只是从几何形式到解析形式上，取等的条件也共线向量决定，而由向量也可以证明二元柯西不等式，再由柯西不等式可以推导出
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geqslant \sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2},$$
取等号时，当且仅当$$\frac {a_1}{b_1}=\frac {a_2}{b_2}.$$
以上我觉得才应该是正真的柯西不等式三角形式——写一次证明即明.

isee

源自知乎提问




题：$f(x)=\sqrt {5 - 4\cos x }  + 2\sqrt {5 - 4\sin x } , {~}x  \in \mathbb R$ 的最小值为_____.




这里只处理最小值，配方

\begin{align*} f(x)&=\sqrt {5 - 4\cos x }  + \sqrt {20 - 16\sin x }\\[1em] &=\sqrt {(2\sin x)^2 +  (2\cos x-1)^2 }  + \sqrt {(2\sin x -4)^2+(2\cos x)^2 }\\[1ex] & \geqslant \sqrt{(2\sin x-2\sin x+4)^2+(2\cos x-1-2\cos x)^2}\\[1ex] &=\sqrt {17}. \end{align*}

取等号时 $$\frac {2\sin x}{2 \sin x-4}=\frac {2\cos x-1}{2\cos x}<0,$$ 即$$\frac {\sin x}{-2}=\frac {2\cos x-1}1<0,$$ 则$$\cos x=\frac{8-\sqrt{13}}{17},\sin x=\frac{2+4\sqrt{13}}{17}.$$