2022届高三浙江9+1高中联盟第9题：三次函数求分式和的最值

isee

源自知乎提问

先处理最小值，站在高观点下可知这是双曲线与椭圆相切的情形. 而两二次曲线相切实质是一元四次方程，这并不简单.

题： $a^2+ab+b^2=3,$ 求 $\frac 1{a+4}+\frac 1{b+4}$ 的范围.

将条件配方即 $\left(a+\frac b2\right)^2+\frac {3b^2}4=3,$ 易知 $a+4>0,\ b+4>0$ 于是由柯西不等式有

$$\left(1+\frac 13\right)\left(\left(a+\frac b2\right)^2+\frac {3b^2}4\right)\geqslant \left(a+\frac b2+\frac b2\right)^2=(a+b)^2,$$

所以 $-2\leqslant a+b \leqslant 2,$ 取“ $=$ ”时分别为 $a=b=-1,\ a=b=1.$

于是再由柯西不等式有

$$\frac 1{a+4}+\frac 1{b+4}\geqslant \frac {(1+1)^2}{a+b+8}\geqslant \frac 4{10}=\frac 25,$$ 取“ $=$ ”时 $a=b=1,$ 即 $\frac 1{a+4}+\frac 1{b+4}$ 的最小值为 $\frac 25.$

最大值想不到好方法，用拉格朗日乘数法求了下，最后求得的最大值为 $$\frac {\sqrt 5}{30-12\sqrt 5}=\frac {1}{6\sqrt 5-12},$$ 此时 $a+b=-8+3\sqrt 5,\ ab=106-48\sqrt 5,$ 计算结果 99.9% 是 OK 的，无趣的偏导方程就不上了.











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设函数 $f(x)=x^3-3x+3$，若 $a>0,b,c\in \mathbb R$，且 $f(x)-f(a)=(x-a)(x-b)(x-c)$，则 $\frac 1{a+4}+\frac 1{b+4}$ 的范围是

A. $\left(\frac 8{13},\frac {\sqrt 5+2}{6}\right]$



当然下午从题主知道了原题，这不巧了不是，就刚才偶然碰到《浙江省9+1高中联盟2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题》，发现此题源自其中的第9题.

由图中的条件能得到 $b+c=-a,\ bc=a^2-3,\ a>0,$ 消 $a$ 就得到以上链接的命题，不过，丢掉了 $a>0$ 这个条件.

由于标签里是高中数学，以上对最大值用了拉格朗日乘数法一直耿耿于怀，当知道图中第9题后，站在高中角度我们消 $b,c$ 得到关于 $a$ 的一元函数

$$\frac 1{b+4}+\frac 1{c+4}=\frac {b+c+8}{bc+4(b+c)+16}=\frac {8-a}{a^2-4a+13},$$ 下面还有问题需要进一步研究： $a$ 的取值范围，而由最开始的第一次柯西不等式知 $a\in (0,2],$ 之后常规求值域即可，选 A.

kuing

令 `t=a+b`，条件配方 `3(a+b)^2+(a-b)^2=12`，故 `t\in [-2,2]`，又 `ab=t^2-3`，故
\[\frac 1{a+4}+\frac 1{b+4}=\frac {a+b+8}{ab+4a+4b+16}=\frac {t+8}{t^2+4t+13}=\frac1{t+8+\frac{45}{t+8}-12},\]

isee

回复 2# kuing

高高高高高，学习了，还原了，哈哈哈哈哈