螺旋线投影

hbghlyj

将参数式为 $(\cos t,\sin t,t)$ 的螺旋线投影到平面 $z=kx$ 上,使投影曲线有两个"环"相切,求这个平面.
把投影曲线关于$y$轴旋转到$y$-$z$平面上去:

1. RotationTransform[ArcTan[k], {0, 1, 0}][
2. ComplexExpand[{Cos[t], Sin[t], t} -
3.    Projection[{Cos[t], Sin[t], t}, {1, 0, k}]]]

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得到参数式$\left(0,\sin t,\frac{t-k \cos t}{\sqrt{k^2+1}}\right)$. 以$y$为横轴,$z$为纵轴画图:

(在线编译1|在线编译2)

↑相邻的环相切,
相隔着1个环相切,
相隔着2个环相切,
相隔着3个环相切...
$k$值呈等差数列,公差为$\pi$

注意到切点不在$z$轴上,但是很接近$z$轴,可令它在$z$轴上,以求出一个近似值:
当$t=0,\pi,2\pi$时,纵坐标为$y(0)=-\frac{k}{\sqrt{k^2+1}},y(\pi)=\frac{k+\pi }{\sqrt{k^2+1}},y(2\pi)=\frac{2 \pi -k}{\sqrt{k^2+1}}$.
令$y(0)+y(\pi)=2y(2\pi)$,求出$k=\frac{3\pi}2\approx4.71$,而真正相切时的$k$值约为4.6.

isee

回复 1# hbghlyj

好玩儿

hbghlyj

下面求出使相邻的环相切的$k$值.
我们知道,使相邻的环能够相切的$k$值,是使相邻的环能够相交的$k$的最小值.
令$y(t)=y(\pi-t)$,即$t-k \cos t=(\pi -t)-k \cos (\pi -t)$,解得$k=\left(t-\frac\pi2\right) \sec t$.
右边是$t$的函数,当$\frac32\pi<t<2\pi$,它的最小值约为4.60334,这就是所求的$k$值.