感觉有点像拉姆齐问题，但又不是。

abababa

空间6点任意三点不共线，将这些点确定的15条线段任意染成白色或蓝色，求证这些点所确定的三角形中至少存在两个三角形，使得每个三角形都是同色三角形。

最初的一个同色三角形，根据拉姆齐问题可知一定存在，另一个同色三角形要怎么证明出来？我尝试的推理分支步骤太多了，感觉有点绕不过来。

realnumber

假设某点A为端点的蓝色(或白色)线段有4条或以上,比如AB,AC,AD,AE
B,C,D,E之间若有2条蓝线,则出现2个蓝色三角形,若1条蓝线,其余白线,则出现一蓝一白三角形,若0条蓝线,则易得BCDE有4个白色三角形.
可见任意一点只能连2白线3蓝线或2蓝3白.
假设A连了3条蓝线(或白线),比如AB,AC,AD,考虑B,C,D之间若有1蓝线,则出现1个蓝色三角形,若都是白线,则出现白色三角形.接着考虑E连接3条蓝线,也会出现一个蓝色三角形,若白色三角形是BCD(若E连了3条白线,则出现一蓝或一白三角形,不同于之前一个),则考虑F出发的3线,若还是同一个白色三角形BCD,则还有一个白色三角形AEF.完

abababa

回复 2# realnumber

谢谢，我根据后半段的证明，把我原来的证明补完了：
根据拉姆齐问题可知必有一个同色三角形，不妨设$A_1A_2A_3$是白三角形。
考察$A_4$引出的$5$线段，根据抽屉原理可知至少有三条同色：
1.若同为蓝色，当$A_4A_1, A_4A_2, A_4A_3$不全为蓝色时，不妨设$A_4A_i, A_4A_j, A_4A_k$为蓝色，其中集合$\{i,j,k\} \neq \{1,2,3\}$且$i,j,k \neq 4$。若$A_i, A_j, A_k$之间的连线中有蓝色，则构成蓝三角形，命题成立。否则$A_i, A_j, A_k$之间的连线都为白色，构成异于$A_1A_2A_3$的白三角形，命题成立。
2.若同为白色，当$A_4A_1, A_4A_2, A_4A_3$中有两条白边时构成两个白三角形，命题成立。否则$A_4A_1, A_4A_2, A_4A_3$中至多有一条白边：
2.1 若恰有一条白边，不妨设$A_4A_1$是白色，则$A_4A_2, A_4A_3$是蓝色，由于$A_4$引出三条白线，所以$A_4A_5, A_4A_6$都是白色。考察$A_1, A_5, A_6$之间的连线，若有一条为白色则构成白三角形，命题成立。否则$A_1, A_5, A_6$之间的连线都是蓝色，构成蓝三角形，命题成立。
2.2 若一条白边都没有，则$A_4A_1, A_4A_2, A_4A_3$全为蓝色。


所以只要考察$A_4A_1, A_4A_2, A_4A_3$全为蓝色的情况。（我原来就证明到这里）

同理对$A_5, A_6$各自引出的$5$线段作如上推理知，也必须使$A_5A_1, A_5A_2, A_5A_3$和$A_6A_1, A_6A_2, A_6A_3$都为蓝色。

此时若$A_4, A_5, A_6$的连线中若有一条蓝色，则构成蓝三角形，命题成立。否则$A_4A_5A_6$为白三角形，命题成立。