外心到三角形两边的距离之比

lrh2006

如图，AC为△ABC外接圆圆O的直径，E为圆O外一点，连结AE,CE分别交圆O于点D,F,且AE//BC,连结AF,BF,AB=4,BC=2,若△ACE的外心I落在圆O上，则点I到AE,CE的距离之比为多少？

kuing

看起来这只是其中一问？因为“连结AF,BF”在这里是多余嘀……

由 I 为 △ACE的外心知 I 在 AC 上的投影为其中点 O，所以过 O 作 AC 的垂线与圆的交点就是 I，如图：

设圆 I 与 AB 交于 G，由 AE⊥AG 知 EG 为直径，故 I 在 EG 上且 CE⊥CG，
由此可见点 I 到 AE、CE 的距离之比就等于 GA : GC。
由 IA⊥IC 知 ∠AGC=135°，从而 BG=BC=2，故 AG=2 且 GC=2√2，所以比值就是 1/√2。

lrh2006

回复 2# kuing


    什么都逃不过kk的火眼金睛哈哈哈。。。谢谢咯